北方民族大学第7参赛队论文(3)

小椭圆方程：

x22890?y22600?1????????????????(5.1.1.4)

5.2问题一模型的求解

首先利用Matlab编程（程序详见附件）对附件一中的数据用最小二乘法拟合得出图1.8，图1.9，图1.10，图1.11，图1.12，图1.13。

再根据以上几式及图1.8得：

a?890mm，b?600mm，L?(2.05?0.4)m?2450mm，??4.1?，

将a,b,L带入式（5.1.1.3）中运用Mathematica求解得， 变位后油位的变化如表6所示：

表5.无变位时累计进油和油位高度的关系

?累加进油量

/L 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 累加进油量

/L 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

油位高度/mm 159.02 176.14 192.59 208.50 223.93 238.97 253.66 268.04 282.16 296.03 油位高度/mm 159.07914 176.19914 192.64914 208.55914 223.98914 239.02914 253.71914 268.09914 282.21914 296.08914

累加进油量

/L 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000 累加进油量

/L 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000

油位高度/mm 309.69 323.15 336.44 349.57 362.56 375.42 388.16 400.79 413.32 425.76 油位高度/mm 309.74914 323.20914 336.49914 349.62914 362.61914 375.47914 388.21914 400.84914 413.37914 425.81914

累加进油量

/L 1050 1100 1150 1200 1250 1300 1350 1400 1450 1500 累加进油量

/L 1050 1100 1150 1200 1250 1300 1350 1400 1450 1500

油位高度/mm 438.12 450.40 462.62 474.78 486.89 498.95 510.97 522.95 534.90 546.82 油位高度/mm 438.17914 450.45914 462.67914 474.83914 486.94914 499.00914 511.02914 523.00914 534.95914 546.87914

表6.变位后累计进油与油位高的变化

通过图1.8~1.13以及表5和表6比较知，油量一定的情况下，变位后油位普遍比无变位的油位高。即变位后罐容表的变化主要通过油位来体现，且变位后罐容表的变化还与变位的角度?有关。当油量一定时，?越大，测得的油位会越高；相当于数读大了，然而实际油量确少了。通过空间几何的知识，已经建立了无变位和有变位的油位之间的关系。总之，罐体变位后对罐容表的影响为，随着油量

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的增加或是纵向倾斜角的增大，油位高逐渐增大，但是增长的速度先慢直至为零再逐渐增大。

通过最小二乘法拟合纵向倾斜角??4.1?时进/出油的变化图像如图1.14示，由图像可以看出进油和出油几乎重合且成线性关系。于是根据此图像可以得到变位后的每隔1cm的罐容表，

图1.14.

罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值为41.853L. 表7. 罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表 油位高度/mm 油位高度/mm 889.994 931.847 973.7 1015.553 1057.406 1099.259 1141.112 1182.965 1224.818 1266.671 1308.524 1350.377 1392.23 1434.083 1475.936 1517.789 1559.642 1601.495 1643.348 1685.201 累加进油量/L 油位高度/mm 1727.054 1768.907 1810.76 1852.613 1894.466 1936.319 1978.172 2020.025 2061.878 2103.731 2145.584 2187.437 2229.29 2271.143 2312.996 2354.849 2396.702 2438.555 2480.408 2522.261 10

累加进油量/L 油位高度/mm 2564.114 2605.967 2647.82 2689.673 2731.526 2773.379 2815.232 2857.085 2898.938 2940.791 2982.644 3024.497 3066.35 3108.203 3150.056 3191.909 3233.762 3275.615 3317.468 3359.321 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590

600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750 760 770 780 790 800 810 820 830 840 850 860 870 880 890 900 910 920 930 940 950 960 970 980 990

5.3问题二模型的建立

5.3.1模型的准备

卧式加油灌剩余油料体积的计算【2】

1. 问题的提出

随着社会经济的发展，汽车逐渐普及，路边上加油站的数目也不断增加。一般加油站都使用卧式油罐（如图2.1）存储油料。从图上可以看到，这种卧式油罐是由一个圆柱（如图2.1，记长为L，半径为２R）和两个相同的球缺（如图2.1，球缺半径r，截球缺的大圆的直径是2R，显然r>R）焊接而成的。现在的一个问题是，如何计算油罐中所剩油料的体积。这个问题在加油站管理中有很重要的意义。

图2.１ 卧式油罐

经典的方法是：通过长度测量工具在油罐上部的开口处向下测量油罐中油料的垂直高度h（如图2.2），然后查表得到体积。本文现在所要做的正是这个表格的建立。现在问题的困难在于，虽然我们可以测量得到参数R的值，但是不知道油罐的其他两个参数，也就是图2.2中的r和L。

图2.2 体积的测量

2. 体积模型的形成

本章在假设已知参数R,r和L的条件下，推导储油罐剩余油料高度为时体积的计算公式。 h(0?h?2R)为了计算简单，先计算如图2.3所示灰色部分的体积。

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图2.３ 体积计算的模型

分两部分：

（1）计算中间圆柱体部分所剩余油料的体积V1。这部分相当于圆柱体的一部分。

图2.4 圆柱部分油料剩余体积的计算

显然， V1?L?S截面 只需要计算截面面积S截面。利用微积分，

dS2截面?2R?h2dh 计算定积分

22 S22222hR?h截面=?h0R?hdh?hR?h?RArcTan[h2?R2] 所以，

22 V222hR?h1(h)?L?S截面=LhR?h?LRArcTan[h2?R2] （２）计算两端球缺部分所剩余油料的体积V2,

图2.5 球缺部分油料剩余体积的计算

由于左右是对称的，所以我们只需要计算其中一个。

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2） 3）

4）

5）

（ （ （ （

同前面一样的思路，先计算水平截面的面积S水平(h)，然后在垂直方向上对积分h

hV2??S0水平(h)dh （6）

（3）下面求S水平(h)：

如图2.6，球的水平截面是一个圆，半径rh?r2?h2，

图2.6 水平截面的半径

如图2.7，S水平(h)就是阴影部分的面积。

图2.7 水平截面的面积

rh显然， S水平(h)?计算得，

?r?H2rh?sds?221nr?h22?r?H2r?h?sds222 （7）

S水平(h)?(H?h)2Hr?h?H22?12?(r?h)?(h?r)ArcTan(2222r?H2Hr?h?H22)

(8)

从而，

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