初等数论总复习(6)

有１１|55k?2?45m?4?35n?3 （6分）

七、证明：3是无理数。（8分）

八、试证：对任何的正整数n,n2?2不能被4整除。（6分） 九、解不定方程4x?5y?10 （6分）

《初等数论》模拟试卷（A）答案 一、

1、16，2340，9360 2、 素数

3、 7 4、 331 5、 15 6、 (a,m)|b

7、 (p?1)!?1?0(modp) 8、 5，25 9、

29 908 -3

10、 11、 12、 13、 14、 15、 16、

pn

140 5 2，29 查书

二、孙子定理x?267(mod280) 三、 见书 四、 证：由条件可得c为奇数，b为偶数

如果p（x）=0有根q，若q为偶数，则有q?bq?c为奇数，而p（q）=0为偶数，不可能，若q

2为奇数，则有q?bq?c为奇数，而p（q）=0为偶数，也不可能，所以p(x)?0没有整数根

2五、 证：由欧拉定理

1p?1?2p?1???(p?1)p?1?1?1??1?p?1??1(modp)

由费尔马定理

1p?1?2p?1???(p?1)p?1?1?2??p?1?0(modp)

六、（5，11）=1，（4，11）=1，（3，11）=1由欧拉定理得

510?1(mod11)，310?1(mod11)，410?1(mod11)，进一步有 55?1(mod11)，35?1(mod11)，45?1(mod11)

对任何正整数ｋ，ｍ，ｎ有

55k?2?45m?4?35n?3?52?44?33?0(mod11)即有

１１|55k?2?45m?4?35n?3

七、见例。

八、当n=2k时有n?2=4k?2，不能被4整除

当n=2k+1时有n?2=4k??4k?3，不能被4整除，所以有 对任何的正整数n,n2?2不能被4整除

九、因为（4，5）=1，所以不定方程有解，由观察得有特解x=0，y=5

2222?x?0?5t所以不定方程的解为? t为整数

y?2?4t?《初等数论》模拟试卷（B） 说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理

一、填空（30分）

1、d（1001）= 。σ（2002）= 。φ（5005）= 。 2、梅森数Mn是形如 的数。

3、不能表示成5X+6Y（X、Y非负）的最大整数为 。 4、2003！中末尾连续有 个零。 5、（21a+4，14a+3）= 。 6、x2?y2?z2通解为 。

7、费尔马大定理是 。

8、从1001到2000的所有整数中，13的倍数有 。 9、a1x1?a2x2?....anxn?c有解的充要条件是 。

10、p,q是小于是100的素数，pq- 1=x为奇数，则x的最大值是 。 11、[X]=3，[Y]=5，则[X—2Y]可能的值为 。

12、X能被3，4，7整除，这个最小的正整数是 。 13、两个素数的和是39，这两个素数是 。 二、解同余方程组（12分）

?x?1(mod4)??x?1(mod5) ?x?5?2mod7)?三、 叙述并且证明费尔马定理。 （12分） 四、 证明：设ｄ是自然数ｎ的正因子，则有

?d?ndn1d(n)2 （10分）

五、 设Ｐ为奇素数，则有（10分）

（１）1p?1?2p?1?....(p?1)p?1≡－1（ｍｏｄＰ） （２）1P?2P?....(P?1)p ≡0（ｍｏｄＰ）

六、用初等方法解不定方程x2?20xy?1996?0。 （8分） 七、解不定方程式15x+25y=-100. (6分) 八、试证x3?3y3?9z3 无正整数解。 （6分）

九、请用1到9这九个数中的六个（不重复）写出一个最大的能被15整除的六位数（6分）

《初等数论》模拟试卷（B）答案 一、

1、8，1152，960， 2、2?1 3、19， 4、499， 5，1， 6、见书 7、见书 8、77， 9、(a1,a2,?an)c 10、193， 11、-9，-8，-7， 12、84， 13、2，37

n140) 二、孙子定理x?86(mod三、见书。

四、设d是n的因子，则

nn也是n的因子，而d?n，

dd2d(n)n的因子一共有d（n）个，所以 有(?d)?n，从而证明了结论。

dn五、证：由欧拉定理

1p?1?2p?1???(p?1)p?1?1?1??1?p?1??1(modp)

由费尔马定理

1p?1?2p?1???(p?1)p?1?1?2??p?1?0(modp)

2六、由条件可知x为偶数，令x?2x1，则有x1?10x1y?499?0

即有x1(x1?10y)??499，因499为素数，

七、因为（15，25）=5|-100，所以不定方程有解，由观察得有特解x=0，y=-4

所以不定方程的解为??x?0?5t t为整数

?y??4?3t八、假若不定方程有解，由条件可知x为3的倍数，x?3x1，代入得y也为3的倍数y?3y1代入得 z

也为3的倍数，且有x1?3y1?9z1，这样可不断进行下去，但事实上不可能，所以不定方程无解。 九、987645

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