初等数论总复习(3)

......1被7除的余数。 例6：求11?????50......1≡11（mod 7）≡4（mod 7）解：∵111111被7整除，∴11，即余数为4。 ?????50

例7：把0.04263化为分数。 解：设b=0.04263，从而1000b=42.63,

100000b=4263.63，99000b=4263-42 b=?4221469=。 9900011000........当然也可用直化分数的方法做。

例8：设一个数为62XY427是9，11的倍数，求X，Y 解：因为9|62XY427

所以9|6+2+X+Y+4+2+7， 即9|21+X+Y

又因为11|62XY427， 有11 |（7+4+X+6-2-Y-2） 即11|（X-Y+13）

因为0?X，Y?9， 所以有21? 21+X+Y?39， 4 ? X-Y+13 ?22，由此可知 21+X+Y=27，X-Y+13=11 或21+X+Y=36，X-Y+13=22 X+Y=6，X-Y=-2

或X+Y=15，X-Y=9，解得X=2，Y=4。

例9：证明：8a+7不可能是三个整数的平方和。

证：由于每一个整数对于8，必同余于0，1，2，3，4，5，6，7这八个数之一

注意到对于模8，有

02?0,12?1,22?4,32?1, 42?0,52?1,62?4,72?1,

因而每一个整数对于模8，必同余于0，1，4这三个数

不能x,y,z如何变化，只能有x?y?z?0,1,2,3,4,5,6(mod8) 而8a?7?7mod8)，故8a?7不同余于x?y?z关于模8

2222222228a?7?x2?y2?z2，从而证明了结论。

第二章 不定方程

一、 主要内容

一次不定方程有解的条件、解数、解法、通解表示，不定方程x2+y2=z2通解公式、无穷递降法、费尔马大定理。 二、 基本要求

1、 了解不定方程的概念，理解对“解”的认识，掌握一次不定方程ax?by?c有解的条件，能熟

练求解一次不定方程的特解，正整数解及通解。了解多元一次不定方程a1x1?a2x2??anxn?c有解的条件，在有解的条件下的解法。

2、掌握不定方程x2+y2=z2在一定条件下的通解公式，并运用这个通解公式作简单的应用。 3、对费尔马大定理应有在常识性的了解，掌握无穷递降法求证不定方程x4+y4=z2无解的方法。 4、掌握证明不定方程无解的若干方法。

三、难点和重点

（1）重点为求解一次不定方程的方法 （2）掌握第二节中引证的应用。 （3） 费尔马无穷递降法。

四、自学指导

不定方程主要讲解以下几个问题 （i）给定一类不定方程，判别在什么条件下有解。 （ii）在有解的条件下，有多少解 （iii）在有解的条件下，求出所给的不定方程的所有解。 二元一次不定方程的一般形式为ax+by=c 。若(a ,b)∣c，则该二元一次不定方程一定有解，若已知一个特解，则一切解可以用公式表示出来，因此求它的通解只要求出一个特解即可。求解二元一次不定方程的一个通解有好多种方法。读者应该总结一下，各种方法都有独到之处。特别要指出用最大公因数的方法。它的根据是求（a ,b）时所得的结果。由于注意通解公式x=x0-b1t，y=y0+a1t中a1，b1的意义和位置。以免出错。

多元一次不定方程a1x1?a2x2??anxn?c也有类似的结果，但在求解的过程中将它转化二元一次不定方程组，从最后一个二元一次不定方程解起，可逐一解出x1 ,x2 ,??xn 。所用的方法一般选择最大公因数的方法。由于n元一次不定方程可转化为n-1个二元一次不定方程组，故在通解中依赖于n-1个任意常数。但不象二元一次不定方程那样有公式来表示。

x2+y2=z2的正整数解称为勾股数，在考虑这个方程时，我们对（x ,y）作了一些限制，而这些限制并不影响其一般性。在条件x>0，y>0，z>0，（x，y）=1，2∣x的条件可以给出x2+y2=z2的通解公式，x=2ab，y=a2-b2，z2=a2+b2，a>b>0 , (a ,b)=1，a ,b一奇一偶。若将2∣x限为2∣y，则也有相应的一个通解公式。

222

在证明这个通解公式的过程中，用到了引理 uv=w，u>0，v>0，（u ,v）=1，则u=a，v=b，w=ab 。a>0，b>0，（a ,b）=1 。利用这个结论可以求解某些不定方程。特别当w=1或素数p 。则由uv=1或uv=P 可将原不定方程转化为不定方程组。从而获得一些不定方程的解。上述解不定方程的方法叫因子分解法。希望读者能掌握这种方法。

为了解决著名的费尔马大定理：xn+yn=zn ，n?3无正整数解时，当n=4时可以用较初等的方法给出证明。证明由费尔马本人给出的，一般称为费尔马无穷递降法。其基本思想为由一组解出发通过构造得出另一组解，使得两组解之间有某种特定的关系，而且这种构造可以无限重复的。从而可得到矛盾。因此无穷递降法常用来证明某些不定方程无整数解。

证明一类不定方程无解是研究不定方程邻域中常见的形式，一般的要求解不定方程比证明不定方程无解要容易些。证明不定方程无解的证明方法常采用以下形式：（反证法）

若A有解?A1有解?A2有解????An有解，而An本身无解，这样来构造矛盾。从而说明原不定方程无解。

对于证明不定方程的无解性通常在几种方法，一般是总的几种方法交替使用。特别要求掌握：简单同余法、因子分解法、不等式法，以及中学数学中所涉及的判别式法。

五、例子选讲

例1：利用整数分离系数法求得不定方程15x+10y+6z=61。 解：注意到z的系数最小，把原方程化为

z=(?15x?10y?61)??2x?2y?10?(?3x?2y?1) 令t1=(?3x?2y?1)?z，即-3x+2y-6t1+1=0

此时y系数最小，?y?(3x??6t1?1)?x?3t1?(x?1) 令t2 =(x?1)?z,即x?2t2?1,反推依次可解得 y=x+3t1+t2=2t2+1+3t1+t2=1+3t1+3t2 z=-2x-2y+10+t1=6-5t1+10t2

?x?1?2t2∴原不定方程解为??y?1?3t1?3t2t1t2∈z.

?z?6?5t?10t12?121212161616

例2:证明2是无理数

22证：假设2是有理数，则存在自数数a,b使得满足x2?2y2即a?2b，容易知道a是偶数，设a=2a1，

222?2b1代入得b2?2a1,又得到b为偶数，a1?b?a，设b?2b1，则a1,这里b2?a1

这样可以进一步求得a2，b2…且有a>b>a1>b1> a2>b2>…

但是自然数无穷递降是不可能的，于是产生了矛盾，∴2为无理数。

例3：证明：整数勾股形的勾股中至少一个是3的倍数。

证：设N=3m±1(m为整数) ， ∴N2=9m2±6m+1=3(3m2±2m)+1

即一个整数若不是3的倍数，则其平方为3k+1,或者说3k+2不可能是平方数，设x,y为勾股整数，且x,y都不是3的倍数，则x2,y2都是3k+1，但z2=x2+y2=3k+2形，这是不可能，∴勾股数中至少有一个是3的倍数。

例4：求x2+y2=328的正整数解

解：∵ 328为偶数，∴x,y奇偶性相同，即x±y为偶数，设x+y=2u, x-y=2v，代入原方程即为 u2+v2=164,同理令u+v=2u1,u-v=2v1有

22u1?v1?82,u1?v1?2u2,u1?v1?2v2

22u2?v2?41,u2,v2为一偶一奇，且0

u2=1，2，3，4，5代方程，有解（4，5）（5，4） ∴原方程解x=18,y=2,或x=2,y=18。

例5：求x2+xy-6=0的正整数解。 解：原方程等价于x(x+y)=2·3,故有 ∴??x?2,

?x?y?3,?x?3, ??x?y?2,?x?1, ??x?y?6,?x?6, ， ∴ 即有x=2,y=1; x=1,y=5. ??x?y?1.

例6：证明不定方程x2-2xy2+5z+3=0无整数解。 解：若不定方程有解，则x?y2?y4?5z?3

但y4≡0，1(mod5), ∴ 对y,z ，y4-5z-3≡2，3(mod5) 而一个平方数≡0，1，4（mod 5）

∴ y4-5z-3不可能为完全平方，即y4?5z?3不是整数，所以原不定方程无解。

222例7：证明：x?y?z?8a?7无整数解

222证：若原方程有解，则有x?y?z?8a?7(mod8)

注意到对于模8，有

02?0,12?1,22?4,32?1,42?0,52?1,62?4,72?1,

因而每一个整数对于模8，必同余于0，1，4这三个数。

不论x,y,z如何变化，只能有x?y?z?0,1,2,3,4,5,6(mod8)

222而8a?7?7(mod8)，故8a?7不同余于x?y?z关于模8，所以假设错误，即

2222228a?7?x2?y2?z2，从而证明了原方程无解。

例8:某人到银行去兑换一张d元和c分的支票，出纳员出错，给了他c元和d元，此人直到用去23分后才发觉其错误，此时他发现还有2d元和2c分，问该支票原为多少钱？ 解：由题意立式得：100c?d?23?100?2d?2c

即98c?199d?23.

令u?c?2d得98u?3d?23,

令v?33u?d得3v?u?23.

所以u?3v?23(v为任意整数），代入得： d?33u?v?98v?33?23,（1） c?u?2d?199v?67?23,

其中v是任意整数。又根据题意要求：d?0,0?c?100. 根据(1)，仅当v=8时满足此要求，从而d?25,c?51. 因此该支票原为25元51分.

第四章 同余式

一、 主要内容

同余方程概念及次数、解的定义，一次同余方程ax≡b(mod m)有解的充分必要条件，一次同余方程组，孙子定理，高次同余方程，素数模的同余方程，威尔逊定理。

二、基本要求

通过本章的学习要求掌握同余方程的一些基本概念，例同余方程的次数、解等，能解一次同余方程，一次同余方程组，理解孙子定理并用它来解一次同余方程组，会解高次同余方程，对于以素数模的同余方程的一般理论知识能理解。

三、重点和难点

（1） 孙子定理的内容与证明，从中学会求出一次同余方程组的解并从中引伸更一般的情形，即模不二

二互素的情形。

（2） 素数模的同余方程的一些基本理论性问题，并能与一般方程所类似的性质作比较。

四、自学指导

同余方程和不定方程一样，我们同样要考虑以下三个问题，即有解的条件，解数及如何求解，一般地说，对于一般的同余方程，由于仅有有限个解，只要把模m的一个完全剩余系一一代入验算总解组则所需的结果。因此上述三个问题已基本解决，只不过具体到某一个同余方程计算起来困难一点而异。但对于解数，传统的结果不再成立。例如一个同余方程的解数可以大于其次数。读者可以举出反例来证明这一事实。

要学好同余方程这一章。必须首先弄清同余方程的概念，特别是同余方程解的概念，互相同余的解是同一个解。其次有使原同余方程和新的同余方程互相等价的若干变换。移项运算是传统的，同余方程两边也可以加上模的若干倍。相当于同余方程两边加“零”。无论是乘上一数k或除去一个数k，为了保持其同解性，必须（k ,m）=1，这一点和同余的性质有区别。

一次同余方程的一般形式为ax≡b(mod m)，我们讨论的所有内容都在这标准形式下进行的。总结一次同余方程与二元一次不定方程有相当的联系，一次同余方程的求解可以由二元一次不定方程的求解方式给出。反之亦然。但要注意在对“解”的认识上是不一致的，从而导致有无穷组解和有限个解的区别。为了求ax≡b(mod m)的一个特解，可在条件(a ,m)=1下进行。教材上有若干种求解方式，供读者在同样问题选择使用。

一次同余方程组的标准形式为 x≡b1(mod m1) x≡b2(mod m2)

?? (1) x≡bn(mod mn)

若给出的同余方程组不是标准形式，必须注意化为标准形式，同时我们得到的有解的判别定理及求

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