2011年高考文科数学试题汇编 - -函数与导数（教师用）(3)

【百度文库】让每个人平等地提升自己！以下内容由李天乐乐精心为您呈现！ (II)由(I)得f(x)?g(x)?x3?3x2?2x，依题意得：方程x(x2?3x?2?m)?0有三个互不相等的根

0,x1,x2，故x1,x2是方程x2?3x?2?m?0的两个相异实根，所以

1??9?4(2?m)?0?m??；

4()?g()x?m(x?1)又对任意的x??x1,x2?，fx恒成立，特别地，取x?x1时， f(x1)?g(x1)?mx1??m成立，即0??m?m?0，由韦达定理知：x1?x2?3?0,x1x2?2?m?0，故0?x1?x2，对任意的x??x1,x2?，有x?x2?0,x?x1?0,x?0，则：

f(x)?g(x)?mx?x(x?x1)(x?x2)?0；又f(x1)?g(x1)?mx1?0

所以函数在x??x1,x2?上的最大值为0，于是当m?0时对任意的x??x1,x2?，

1mfx()?g()x?m(x?1)(?,0)。 恒成立；综上：的取值范围是

41（湖南文22）设函数f(x)?x??alnx(a?R).

x(I)讨论f(x)的单调性；

（II）若f(x)有两个极值点x1和x2，记过点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直线的斜率为k，问：是否存在a，使得k?2?a?若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由． 解析：（I）f(x)的定义域为(0,??).

1ax2?ax?1 f'(x)?1?2??

xxx2令g(x)?x2?ax?1,其判别式??a2?4.

当|a|?2时,??0,f'(x)?0,故f(x)在(0,??)上单调递增．

)上，f'(x)?0，故f(x)在(0,??)上单?>0,g(x)=0的两根都小于0，在(0,??当a??2时,调递增．

a?a2?4a?a2?4?>0,g(x)=0的两根为x1?当a?2时,， ,x2?22

【百度文库】让每个人平等地提升自己！以下内容由李天乐乐精心为您呈现！ 当0?x?x1时， f'(x)?0；当x1?x?x2时， f'(x)?0；当x?x2时， f'(x)?0，故f(x)分别在(0,x1),(x2,??)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减． （II）由（I）知，a?2． 因为f(x1)?f(x2)?(x1?x2)?k?x1?x2?a(lnx1?lnx2)，所以 x1x2f(x1)?f(x2)lnx?lnx21?1??a?1 x1?x2x1x2x1?x2lnx1?lnx2k?2?a?xx?1又由(I)知，12．于是 x1?x2若存在a，使得k?2?a.则

x2?1?2lnx2?0(x2?1)(*) x2lnx1?lnx2?1．即lnx1?lnx2?x1?x2．亦即

x1?x2再由（I）知，函数h(t)?t??2lnt在(0,??)上单调递增，而x2?1，所以

x2?11?2lnx2?1??2ln1?0.这与(*)式矛盾．故不存在a，使得k?2?a. x211t13??fx?x?mx2?nx. （江西文20）设

3 （1）如果g?x??f??x??2x?3在x??2处取得最小值?5，求f?x?的解析式； （2）如果m?n?10?m,n?N??，f?x?的单调递减区间的长度是正整数，试求m和

n

的值．(注：区间?a,b?的长度为b?a）

32.解：（1）已知f?x??x?mx?nx，?f'?x??x2?2mx?n

13又?g?x??f'?x??2x?3?x2??2m?2?x?n?3在x??2处取极值， 则g'??2??2??2???2m?2??0?m?3，又在x??2处取最小值-5.

32则g??2????2?2???2??4?n?3??5?n?2，?f?x??x?3x?2x 32（2）要使f?x??x?mx?nx单调递减，则?f'?x??x2?2mx?n?0

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【百度文库】让每个人平等地提升自己！以下内容由李天乐乐精心为您呈现！ 又递减区间长度是正整数，所以f'?x??x2?2mx?n?0两根设做a，b。即有： b-a为区间长度。又b?a??a?b?2?4ab?4m2?4n?2m2?n?m,n?N?? 又b-a为正整数，且m+n<10,所以m=2，n=3或，m?3,n?5符合。

（辽宁文20）设函数f(x)=x+ax2+blnx，曲线y=f(x)过P（1,0），且在P点处的

切斜线率为2．

（I）求a，b的值；（II）证明：f(x)≤2x-2．

b?f(x)?1?2ax?. 解：（I）

x?f(1)?0,?1?a?0,由已知条件得?f?(1)?2.即?1?2a?b?2.，解得a??1,b?3.

?? （II）f(x)的定义域为(0,??)，由（I）知f(x)?x?x2?3lnx.

设g(x)?f(x)?(2x?2)?2?x?x2?3lnx,则

g?(x)?1??2x?3(x?1)(2x?3)??. xx当0?x?1时,g?(x)?0;当x?1时,g?(x)?0.所以g(x)在(0,1)单调增加,在(1,??)单调减少.

而g(1)?0,故当x?0时,g(x)?0,即f(x)?2x?2.

x2（全国Ⅰ文21）设函数f?x??x?e?1??ax

（Ⅰ）若a=，求f?x?的单调区间； （Ⅱ）若当x≥0时f?x?≥0，求a的取值范围 （21）解：

x2（Ⅰ）a?时，f(x)?x(e?1)?x，f'(x)?ex?1?xex?x?(ex?1)(x?1)。当x????,?1?121212时f'(x)??;当x???1,0?时，f'(x)?0;当x??0,???时，f'(x)?0。故f(x)在

???,?1?，?0,???单调增加，在（-1，0）单调减少。

()?xa?1?ax（Ⅱ）f(x)?x(xa?1?ax)。令gx)?exa?。，则g('x若a?1，则当x??0,???时，g'(x)??，g(x)为减函数，而g(0)?0，从而当x≥0时g(x)≥0，即f(x)≥0.

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若a??，则当x??0,lna?时，g'(x)??，g(x)为减函数，而g(0)?0，从而当

x??0,lna?时g(x)＜0，即f(x)＜0.综合得a的取值范围为???,1?

（全国Ⅱ文20）已知函数f(x)?x3?3ax2?(3?6a)x?12a?4(a?R) (Ⅰ)证明：曲线y?f(x)在x?0的切线过点(2,2)；

（Ⅱ）若f(x)在x?x0处取得极小值，x0?(1,3),求a的取值范围。 【解析】(Ⅰ) f?(x)?3x2?6ax?(3?6a)，f?(0)?3?6a，又f(0)?12a?4

曲线y?f(x)在x?0的切线方程是：y?(12a?4)?(3?6a)x，在上式中令

x?2，得y?2

所以曲线y?f(x)在x?0的切线过点(2,2)；

（Ⅱ）由f?(x)?0得x2?2ax?1?2a?0，（i）当?2?1?a?2?1时，f(x)没有极小值；

(ii)当a?2?1或a??2?1时，由f?(x)?0得

x1??a?a2?2a?1,x2??a?a2?2a?1 故x0?x2。由题设知1??a?a2?2a?1?3，当a?2?1时，不等式

1??a?a2?2a?1?3无解；

当a??2?1时，解不等式1??a?a2?2a?1?3得??a??2?1

5a(?,?2?1)。 综合(i)(ii)得的取值范围是

252（陕西文21）设f(x)?lnx，g(x)?f(x)?f?(x)． （1）求g(x)的单调区间和最小值；

1g(x)g()的大小关系； （2）讨论与

x1ag(a)?g(x)（3）求的取值范围，使得＜对任意x＞0成立．

a【分析】（1）先求出原函数f(x)，再求得g(x)，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数

【百度文库】让每个人平等地提升自己！以下内容由李天乐乐精心为您呈现！ 判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）对任意x＞0成立的恒成立问题转化为函数g(x)的最小值问题．

1x?1?f(x)?lnx,g(x)?lnx?g(x)?,令g?(x)?0得x=1， 【解】（1）由题设知，∴2xx当x∈（0，1）时，g?(x)＜0，g(x)是减函数，故（0，1）是g(x)的单调减区间。 当x∈（1，+∞）时，g?(x)＞0，g(x)是增函数，故（1，+∞）是g(x)的单调递增区间，

因此，x=1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以g(x)的最小值为g(1)?1.

111(x?1)2(2)g()??lnx?x，设h(x)?g(x)?g()?lnx?x?，则h?(x)??2，

xxxx1h(1)?0g(x)?g()，当x?(0,1)?(1,??)时，h?(x)?0， x?1当时，，即

x因此，h(x)在(0,??)内单调递减，当0?x?1时，h(x)?h(1)?0，即g(x)?g(). （3）由（1）知g(x)的最小值为1，所以，g(a)?g(x)?，对任意x?0，成立

1?g(a)?1?,

a1a1x即Ina?1,从而得0?a?e。

（上海文21）已知函数f(x)?a?2x?b?3x，其中常数a,b满足a?b?0 （1）若a?b?0，判断函数f(x)的单调性； （2）若a?b?0，求f(x?1)?f(x)时的x的取值范围. 解：⑴ 当a?0,b?0时，任意x1,x2?R,x1?x2，

xxxx则f(x1)?f(x2)?a(2?2)?b(3?3)

1212∵ 2x?2x,a?0?a(2x?2x)?0，3x?3x,b?0?b(3x?3x)?0，

12121212∴ f(x1)?f(x2)?0，函数f(x)在R上是增函数。当a?0,b?0时，同理函数f(x)在R上是减函数。 ⑵ f(x?1)?f(x)?a?2x?2b?3x?0

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