前三届全国大学生高等数学竞赛真题及答案（大纲）非数学类(5)

f'???f????m

?an?an?1?man?1?an?2?...?mn?1a1?a0?0?m?1

?级数?mn?1?n?1a1?a0收敛，?级数

?an?1?n?an?1收敛，即

??an?1?n?an?1?绝

对收敛。

七（．本题15分）是否存在区间

满足f?0??f?2??1， ?0,2?上的连续可微函数f(x)，

f、?x??1,?0f?x?dx?1？请说明理由。

2?0,1?时，由拉格朗日中值定理得： ??1介于0，x之间，使得f?x??f?0??f'??1?x,， 同理，当x??1,2?时，由拉格朗日中值定理得：

??2介于x，2之间，使得f?x??f?2??f'??2??x?2?

''即f?x??1?f??1?x,x??0,1?;f?x??1?f??2??x?2?,x??1,2? ??1?f、?x??1，

?1?x?f?x??1?x,x??0,1?;x?1?f?x??3?x,x??1,2?

解：假设存在，当x?显然，

1f?x??0,?f?x?dx?0

02212100121???1?x?dx???x?1?dx??f?x?dx???1?x?dx???3?x?dx?30??f?x?dx?1，又由题意得?f?x?dx?1,??f?x?dx?1

000222即

?20??1?x,x??0,1?f?x?dx?1，?f?x??? ??x?1,x??1,2??lim?x?1f?x??f?1?x?1f?x??f?1?x?11?x?lim?1,lim?lim??1?x?1?x?1x?1?x?1x?1x?1

'又因为f(x)是在区间?0,2?上的连续可微函数，即f?1?存在，矛盾，?f'?1?不存在，

故，原假设不成立，所以，不存在满足题意的函数f(x)。

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