前三届全国大学生高等数学竞赛真题及答案（大纲）非数学类(4)

二．（本题10分）求方程解：设P?2x??2x?y?4?dx??x?y?1?dy?0的通解。

y?4,Q?x?y?1，则Pdx?Qdy?0

?P?Q???1,?Pdx?Qdy?0是一个全微分方程，设dz?Pdx?Qdy

?y?xz??dz??Pdx?Qdy???x,y??0,0??2x?y?4?dx??x?y?1?dy

?P?Q??,?该曲线积分与路径无关

?y?x12?z???2x?4?dx???x?y?1?dy?x?4x?xy?y?y

002xy2三．（本题15分）设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且

f?0?,f'?0?,f\?0?均不为

0，证明：存在唯一一组实数k1,k2,k3，使得

limh?0k1f?h??k2f?2h??k3f?3h??f?0?h2?0。

?h??k2f?2h??k3f?3h??f?0????0

即?k1?k2?k3?1?f?0??0，又f?0??0，?k1?k2?k3?1①

证明：由极限的存在性：lim?k1fh?0?由洛比达法则得

limh?0k1f?h??k2f?2h??k3f?3h??f?0?h2k1f'?h??2k2f'?2h??3k3f'?3h?

2h'''由极限的存在性得lim?k1f?h??2k2f?2h??3k3f?3h???0

??h?0h?0?lim?0即

?k1?2k2?3k3?f'?0??0，又f'?0??0，?k1?2k2?3k3?0②

再次使用洛比达法则得

limh?0k1f'?h??2k2f'?2h??3k3f'?3h?2hk1f\?h??4k2f\?2h??9k3f\?3h??0

2??k1?4k2?9k3?f\?0??0?f\?0??0h?0?lim?k1?4k2?9k3?0③

?k1?k2?k3?1?由①②③得k1,k2,k3是齐次线性方程组?k1?2k2?3k3?0的解

?k?4k?9k?023?1?111??k1??1???????设A?123,x?k2,b?0，则Ax?b， ???????149??k??0????3???增

广

矩

阵

?1A*???1?1?1241??3????9???1?0?01?0?0??0，1?0?则013310R?A,b??R?A??3

所以，方程Ax且k1?b有唯一解，即存在唯一一组实数k1,k2,k3满足题意，

?3,k2??3,k3?1。

四．（本题17分）设

x2y2z2?1:2?2?2?1，其中a?b?c?0abc，

?2:z2?x2?y2，?为?1与?2的交线，求椭球面?1在?上各点的切平面到原点

距离的最大值和最小值。

x2y2z2?2?2?1， 解：设?上任一点M?x,y,z?，令F?x,y,z??2abc2x'2y'2z'则Fx?2,Fy?2,Fz?2,?椭球面?1在?上点M处的法向量为：

abc??xyz?t??2,2,2?,??1在点M处的切平面为?：

?abc?xyzX?x??2?Y?y??2?Z?z??0 2?abc原

点

到

平

面

?的距离为

d?1x?4a2y?b42，

zc42令

G?x2,x,?y?za4G?y2?4bz21， ?则4d,?cG?x,y,z?条件

现在求

x2y2z2,x,y??z4?4?4在,abcx2y2z2?2?2?12abc，

z2?x2?y2下的条件极值，

令

?x2y2z2?x2y2z2H?x,y,z??4?4?4??1?2?2?2?1???2?x2?y2?z2?abcbc?a?

则由拉格朗日乘数法得：

2x?'2xH???12?2?2x?0?xa4a??H'?2y??2y?2?y?0122?yb4b?2z?'2z?Hz?4??12?2?2z?0，

cc??x2y2z2?2?2?2?1?0bc?a?x2?y2?z2?0??22?x?0?2ac2??x?z?2222解得?或?， a?cbc22?y?z?2?b?c2?y?0?b4?c4a4?c4对应此时的G?x,y,z??或G?x,y,z??

22222222bc?b?c?ac?a?c?b2?c2此时的d1?bcb4?c4又因为aa2?c2或d2?aca4?c4 ?b?c?0，则d1?d2

?1在?上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值分别为：

所以，椭球面

a2?c2d2?ac4a?c4b2?c2，d1?bcb4?c4

?x2?3y2?1五．（本题16分）已知S是空间曲线?绕y轴旋转形成的椭球面的上半部

?z?0分（z?0）取上侧，?是S在P?x,y,z?点处的切平面，??x,y,z?是原点到切

平面?的距离，?,?,?表示S的正法向的方向余弦。计算：

z（1）（2）z??x?3?y??z?dS dS；

??????x,y,z?SS

解：（1）由题意得：椭球面S的方程为x令F2?3y2?z2?1?z?0?

?x2?3y2?z2?1,则Fx'?2x,Fy'?6y,Fz'?2z，

?切平面?的法向量为n??x,3y,z?，

?的方程为x?X?x??3y?Y?y??z?Z?z??0，

原点到切平面?的距离

??x,y,z??x2?3y2?z2x?9y?z222?1x?9y?z222 z?I1???dS???zx2?9y2?z2dS

??x,y,z?SS将一型曲面积分转化为二重积分得：记Dxz:x2?z2?1,x?0,z?0

?1?I1?4??Dxz22?z?3?2x?z????3?1?x?z222?dxdz?4?2sin?d??0r2?3?2r2?dr3?1?r20? ?4??1r2?3?2r2?dr3?1?r?0??4?20sin2??3?2sin2??d?3

4?31?3??3??2????22?423??2xx?9y?z222(2)方法一：

??,??3yx?9y?z222,??zx?9y?z222

?I2???z??x?3?y??z?dS???zx2?9y2?z2dS?I1?SS3?2

六．（本题12分）设f(x)是在中

????,???内的可微函数，且

，定义

f、?x??mf?x?，其

证明：

0?m?1，任取实数a0nan?lnf?an?1?,n?1,2,...,??an?1?an?1?绝对收敛。

?an?1?lnf?an?1??lnf?an?2?

证明：an由拉格朗日中值定理得：??介于an?1,an?2之间，使得

lnf?an?1??lnf?an?2??f'???f????an?1?an?2?

，

又

?an?an?1?f'???f????an?1?an?2?f、????m???f得

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