7状态空间设计法极点配置观测器(3)

LF11?K1F21?1(k?1)w1zG1?K1G2?1(k)w?1(k)xK1P?F11?K1F21?K1降维观测器?F12?K1F22?(k)xx(k+1)v(k)u(k)G1zx(k)C?2(k)y(k)?x被控对象F 图7.8 利用降维观测器构成状态反馈

现在的问题是，利用状态估值构成的状态反馈系统的动态特性如何？下面以全维观测器为例进行分析。

与图7.7对应的系统方程由式7.1，7.2和7.10共同组成，是一个2n维系统。如下式

?x(k?1)?Fx(k)?Gu(k)?y(k)?Cx(k)???(k?1)?Fx?(k)?Gu(k)?K?y(k)?y?(k)? ?x?y?(k)?Cx?(k)??(k)??u(k)?v(k)?Lx7.25

改写为

GL??x(k?1)??F??x(k)??G???????KCF?KC?GL??x???G?v(k)?x(k?1)(k)????????? ?x(k)??y(k)?[C0]??x???(k)???7.26

对上式进行相似变换，并不影响系统的特征值

?x(k)??I?x???I?(k)???0??x(k)??I?x(k)?x???I??I?(k)????0??x(k)???? ?I??(k)????x?7.27

得到

??x(k?1)??F?GL?GL??x(k)??G?????????????0?v(k)0F?KC?(k?1)??(k)??????x???x??? ?x(k)???y(k)?[C0]?????(k)??x???7.28

考虑到式7.6和式7.13，上式的特征方程为

?GL????F?GLdet?zI?????det?zI?(F?GL)?det?zI?(F?KC)?0F?KC??????(z??i)i?1n?(z??)?0ii?1n 7.29

其中，?i和?i，i=1，2，…，n，分别为由状态反馈阵L和状态估值反馈矩阵K决定的闭环系统极点和观测器极点。

求式7.28从输入v(k)到输出y(k)的传递函数，有

?GL???G???F?GLH(z)?[C0]?zI?????0?0F?KC??????GL?zI?(F?GL)??G?

?[C0]???0zI?(F?KC)????0??C[zI?(F?GL)]?1G?1?17.30

可见其从输入到输出的传递函数完全由状态反馈的几点决定，无观测器的极点。 无关因此有如下定理：?定理：分离特性

当由全维（降维）状态观测器得到的状态估值实现状态反馈配置极点时，2n维（2n-m维）系统有2n个（2n-m个）极点；由状态反馈阵L确定的n个闭环极点和由状态估值反馈矩阵K（K1）决定的n个（n-m个）观测器极点，相互独立，互不影响。由状态反馈阵L任意配置的n个闭环极点决定系统从输入到输出的传递函数；由状态估值反馈矩阵K（K1）决定的n个（n-m个）观测器极点决定着状态估值趋于系统真实状态的速度。

观测器极点对对闭环系统特性的影响

由式7.13可知，观测器的估值误差由观测器的极点决定。可以想象，如果观测器的响应速度很慢，则由此得到的估值将会较大的偏离实际系统的状态。必然会影响闭环系统的动态特性。一般来说，有以下设计原则：

? 观测器的响应速度应该明显快于闭环系统（传递函数）的响应速度。

? 观测器的响应速度（频带）也不能太宽，应保证噪声频带在观测器的频带之外。 观测器等效为动态校正环节

以图7.7的全维观测器为例，其可以看成是以被控对象的输入u(k)和输出y(k)为其输入，

?(k)为其输出。于是，观测器可以等效为两个传递函数Hu(z)和Hy(z)，如图7.9所示。 以x状态观测器Hu(z)Hu(z)Lx(k+1)Gv(k)u(k)被控对象1zx(k)Cy(k)F

图7.9 状态观测器构等效为动态校正

其中，

Hu(z)?L(zI?F)?1?zI?KC(zI?F)?1?G?1Hy(z)?L(zI?F)?1?zI?(zI?F)?1KC?K 7.31

可有如下一般性的结论：

① 利用状态观测器实现状态反馈控制规律时，观测器与经典控制理论中的动态校正环节等效，二者本质上是一致的。

② 为了达到同样的校正目的，一般来说用观测器会比使用经典校正法更为简单些，例如阶数可以更低些。

③ 上述所谓的等效仅仅是输入输出意义下的，其内部模态不一定等效。

④ 利用状态观测器实现状态反馈控制规律时，使用了系统内部的更多信息，一般来说对系统设计的任意性更大些。

⑤ 经典的校正方法是以开环特性间接把握闭环特性，而利用状态观测器实现的反馈控制规律是直接把握闭环极点。

但是，基于观测器的闭环设计方法也还有很多局限性，比如，如何实现无差调节，如何对扰动调节特性进行设计，等。

下面讨论这些问题。

以下两节内容仅供同学们参考，尚有相关问题需要进一步研究。

7.5 扰动调节

再来回顾图7.1，图中的扰动可能是负载扰动、环境扰动、甚或是参数扰动，或其它扰动。

扰动的加入点可能在输入端、输出端或模型内部。扰动可能引起输出的动态偏差和稳态偏差。在经典控制理论中可以对扰动进行反馈控制或前馈控制，可以通过积分调节消除扰动的稳态误差。

本节讨论在状态空间模型下通过观测器对扰动进行估值和前馈控制，下一节讨论扰动的误差调节。

假设输入端有r维扰动d(k)，包含扰动的被控对象如下图7.10所示。

状态观测器?(k)xL?(k) d-Ird(k)x(k+1)u(k)G1zv(k)x(k)Cy(k)控制器被控对象F

图7.10 扰动前馈控制与状态反馈配置极点示意图

当输出端或模型内部存在扰动时，不失一般性，一般总可以等效向前移动，并入d(k)中。 在式7.1中考虑扰动d(k)，有

?x(k?1)?Fx(k)?Gu(k)?Gd(k) ?y(k)?Cx(k)?一般来说，做如下假设是合理的：

7.32

扰动的频带远小于闭环系统的频带。就是说闭环系统的动态调节速度要比扰动的变化速度快得多。在这一假设下，有理由做式7.33的假设。该假设的工程意义是，由于扰动变化缓慢，使得任意相邻两个采样点上的扰动值近似不变。既有

d(k?1)?d(k)

7.33

式7.32和7.33联立，得到一个状态扩充的系统方程

??x(k?1)?Fx(k)?Gu(k) ?y(k)?Cx(k)??7.34

其中，

??G??FG??x(k)???0?x(k)?,F?,G?????????d(k)?n2?0Ir?n22 ??0???(n2)r??C??C0?,n2?n?rm(n2)?7.35

?(k)，首先研究式7.35的可观性。其可观性矩阵为 为了得到d(k)状态估值d0?C??C?????CFCIGCFn????WO?? ?...??...?...?n2?1??n2?1?n2?2CFC[F?...?F?I]GCFn?(mn2)(n2)???7.36

如果上式是满秩的，则可以构成一个全维或降维的渐近观测器，得到x(k)的状态估值

?(k)，仍如图7.10所示。 ?(k)。其中包括dx?(k)，采用前馈补偿控制。取前馈补偿控制系数为“-Ir”对于扰动d，则理论上可以实现扰动全补偿。即由于有

?(k)?d(k) d7.37

?(k)支路和d(k)支路的影响相互抵消，不对输出产生影响。这就是基于扰动观测器因此d的扰动前馈补偿控制。

?(k)总会比事实上，观测器是一个渐近观测器。即考虑观测器的动态速度不会无限快，dd(k)略微滞后，全补偿只是近似的。

?(k)，即可以实现状态反馈配置极点。亦示于图7.10中。 利用对状态的估值x7.6 无差调节

由上节可知，通过扰动前馈补偿，可以消除负载等扰动对系统输出的影响。但是前馈补

偿属于开环控制，由于参数的变化或不准确，都会影响补偿控制的效果。

为了得到稳态无差调节的特性，现在只考虑标量系统，即单输入单输出系统，亦即，m=r=1。当考虑多输入多输出系统时，涉及到解耦问题，要复杂一些，这里不再讨论。

考虑如下标量纯积分系统

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