[优化方案]2016高中数学 第二章 平面向量 7.1点到直线的距离公式(2)

223

解得λ＝，所以BE∶EC＝∶＝2∶3.

555

法二：以B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 设B(0，0)，C(2，0)，

3??53??1

则A?，?，D?，?.

?22??22?3?→?13?→?5

设E(m，0)，则BD＝?，?，AE＝?m－，－?，

2??22??25133→→

由AE⊥BD，得AE·BD＝0，即(m－)－×＝0，

2222

446

解得m＝，所以BE∶EC＝∶＝2∶3.

555

向量在物理中的应用

一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了

8 m．已知|F1|＝2 N，方向为北偏东30°，|F2|＝4 N，方向为北偏东60°，|F3|＝6 N，方向为北偏西30°，求这三个力的合力F所做的功．

(链接教材P103例4)

[解] 以三个力的作用点为原点，正东方向为x轴正半轴，正北方向为y轴正半轴建立平面直角坐标系，如图所示．

由已知可得F1＝(1，3)，F2＝(23，2)，F3＝(－3，33)． 所以F＝F1＋F2＋F3＝(23－2，43＋2)． 又位移s＝(42，42)，

所以F·s＝(23－2)×42＋(43＋2)×42＝246(J)． 故这三个力的合力F所做的功是246 J.

方法归纳

利用向量解决物理问题的思路及注意问题

(1)向量在物理中的应用，实际上是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后用所获得的结果解释物理现象．

(2)在用向量法解决物理问题时，应作出相应图形，以帮助建立数学模型，分析解题思路．

(3)注意问题：①如何把物理问题转化为数学问题，也就是将物理之间的关系抽象成数学模型；②如何利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象．

3．(1)一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为( )

A．6 B．2 C．25 D．27 (2)点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P0的坐标为(－10，10)，则5秒后点P的坐标为( )

A．(－2，4) B．(－30，25) C．(10，－5) D．(5，－10)

(3)已知两恒力F1＝(3，4)、F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到

6

点B(7，0)，试求：

①F1、F2分别对质点所做的功； ②F1，F2的合力F对质点所做的功．

解：(1)选D.因为力F是一个向量，由向量加法的平行四边形法则知F3的大小等于以F1，F2为邻边的平行四边形的对角线的长，故|F3|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|·cos 60°＝4＋16＋8＝28，所以|F3|＝27.

→

(2)选C.由题意知，P0P＝5v＝(20，－15)，

??x＋10＝20，

设点P的坐标为(x，y)，则?

?y－10＝－15，?

解得点P的坐标为(10，－5)．

→

(3)设物体在力F作用下的位移为s，则所做的功为W＝F·s，AB＝(7，0)－(20，15)＝(－13，－15)．

→→

①W1＝F1·AB＝(3，4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，W2＝F2·AB＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．

→→

②W＝F·AB＝(F1＋F2)·AB＝[(3，4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(J)．

易错警示 向量在几何应用中的误区 →?→→?→ABAC?→AB·AC1→→?＋在△ABC中，已知向量AB与AC满足·BC＝0且＝，则△ABC→??|→→→2

|AB|·|AC|?AB||AC|?

的形状为________．

→→→→ABACABAC→→

[解析] 因为向量，分别表示与向量AB，AC同向的单位向量，所以以，→→→→|AB||AC||AB||AC|

为邻边的平行四边形是菱形．

→→ABAC→

根据平行四边形法则作AD＝＋(如图所示)，

→→|AB||AC|

则AD是∠BAC的平分线． 因为非零向量满足

→??→ABAC?→?＋·BC＝0， →??|→

?AB||AC|?

所以∠BAC的平分线AD垂直于BC，所以AB＝AC，

→→AB·AC1

又cos∠BAC＝＝，且∠BAC∈(0，π)，

→→2|AB||AC|π

所以∠BAC＝，所以△ABC为等边三角形．

3

[答案] 等边三角形

[错因与防范] (1)解答本题常会给出错误的答案为“直角三角形”，原因在于未能正确分析挖掘题设中的条件，直接根据数量积为零，就判断△ABC为直角三角形．

(2)为杜绝上述可能发生的错误，应该： ①注意知识的积累

→→ABAC向量线性运算和数量积的几何意义是解决向量问题的依据，如本例中，的含义，

→→|AB||AC|

7

邻边相等的平行四边形是菱形，菱形的对角线平分对角．

②树立数形结合意识

推导图形的形状时要以题目条件为依据全面进行推导，回答应力求准确，如本例求解时，以图形辅助解题，较为形象直观．

→→

4．(1)设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A1A3＝λA1A2(λ∈R)，

11→→

A1A4＝μA1A2(μ∈R)，且＋＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知平面上的点C，D调和

λμ

分割点A，B，则下面说法正确的是( )

A．C可能是线段AB的中点 B．D可能是线段AB的中点 C．C、D可能同时在线段AB上

D．C、D不可能同时在线段AB的延长线上

→→→→??ABAC→OB＋OC??，＋(2)设O为△ABC所在平面上一点，动点P满足OP＝＋λ

→?|→?2

?AB|cos B|AC|cos C?

λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的( )

A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 解析：(1)选D.因为C，D调和分割点A，B，

11→→→→

所以AC＝λAB，AD＝μAB，且＋＝2(*)，

λμ

不妨设A(0，0)，B(1，0)，则C(λ，0)，D(μ，0)，

11→1→

对A，若C为AB的中点，则AC＝AB，即λ＝，将其代入(*)式，得＝0，这是无意

22μ

义的，故A错误；

11

对B，若D为AB的中点，则μ＝，同理得＝0，故B错误；

2λ

对C，要使C，D同时在线段AB上，则0＜λ＜1，且0＜μ＜1，

11

所以＞1，＞1，

λμ1111

所以＋＞2，这与＋＝2矛盾；故C错误；显然D正确．

λμλμ

(2)选C.设线段BC的中点为D， →→OB＋OC→则＝OD.

2

→→→→??ABAC→OB＋OC?? ＋所以OP＝＋λ

→?|→?2

?AB|cos B|AC|cos C?→→??ABAC→??， ＋＝OD＋λ

→?|→?

?AB|cos B|AC|cos C?

→→??→ABAC→→??＝DP， ＋所以OP－OD＝λ

→?|→?

?AB|cos B|AC|cos C?

→→??→ABAC→→??·BC ＋所以DP·BC＝λ

→?|→?

?AB|cos B|AC|cos C?

8

→→→??→AB·BCAC·BC?＋＝λ ?

→→?|AB??|cos B|AC|cos C?

→→→?|→AB|·|BC|cos（π－B）|AC|·|BC|cos C??? ＋＝λ

→→??|AB|cos B|AC|cos C??

→→

＝λ(－|BC|＋|BC|)＝0，

所以DP⊥BC，即点P一定在线段BC的垂直平分线上，即动点P的轨迹一定通过△ABC的外心．

1．已知直线x＋3y＋9＝0，则直线的一个法向量为( ) A．a＝(1，3) B．a＝(3，1) C．a＝(3，－1) D．a＝(－3，－1) 解析：选A.直线Ax＋By＋C＝0的法向量可以为(A，B)．

→→→2

2．在△ABC中，若AB·BC＋|AB|＝0，则△ABC的形状是( ) A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形

→→→2

解析：选C.因为AB·BC＋|AB|＝0，

→→→2→→→

所以AB·BC＋AB＝0，即AB·(BC＋AB)＝0.

→→→→

所以AB·AC＝0，所以AB⊥AC，即AB⊥AC. 所以A＝90°.所以△ABC是直角三角形．

3．一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的影子的速度是40 m/s，则鹰的飞行速率为( )

80403A. m/s B． m/s 3380340

m/s D． m/s 33

解析：选C.设鹰的飞行速度为v1，鹰在地面上的影子的速度为v2，则v2＝40 m/s，因

|v2|803

为鹰的运动方向是与水平方向成30°角向下，故|v1|＝＝(m/s)，故选C.

33

C.

2

, [学生用书单独成册])

[A.基础达标]

1.一个人骑自行车行驶速度为v1，风速为v2，则逆风行驶的速度的大小为( ) A．v1－v2 B．v1＋v2 C．|v1|－|v2|

D． v1

v2

解析：选C.根据速度的合成可知．

→→2.若OF1＝(2，2)，OF2＝(－2，3)分别表示F1，F2，则|F1＋F2|为( ) A．(0，5) B．25 C．22 D．5

9

解析：选D.因为F1＋F2＝(0，5)，

22

所以|F1＋F2|＝0＋5＝5.

3.过点A(2，3)且垂直于向量a＝(2，1)的直线方程为( ) A．2x＋y－7＝0 B．2x＋y＋7＝0 C．x－2y＋4＝0 D．x－2y－4＝0

→

解析：选A.设所求直线上任一点P(x，y)，则AP⊥a.

→

又因为AP＝(x－2，y－3)， 所以2(x－2)＋(y－3)＝0，

即所求的直线方程为2x＋y－7＝0.

→→→→

4.若Ai(i＝1，2，3，4，…，n)是△AOB所在平面内的点，且OAi·OB＝OA·OB. 给出下列说法：

→→→→①|OA1|＝|OA2|＝…＝|OAn|＝|OA|；

→→②|OAi|的最小值一定是|OB|； ③点A、Ai在一条直线上． 其中正确的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3

→→→→

解析：选B.由OAi·OB＝OA·OB，

→→→→→

可得(OAi－OA)·OB＝0，即AAi·OB＝0，

→→

所以AAi⊥OB，即点Ai在边OB过点A的垂线上． 故三个命题中，只有③正确，故选B.

→

5．已知△ABC中，A(2，－1)，B(3，2)，C(－3，－1)，BC边上的高为AD，则AD等于( ) A．(－1，2) B．(1，－2) C．(1，2) D．(－1，－2)

→→→

解析：选A.设D(x，y)，则AD＝(x－2，y＋1)，BD＝(x－3，y－2)，BC＝(－6，－3)．

→→→→因为AD⊥BC，BD∥BC.

???－6（x－2）－3（y＋1）＝0，?x＝1，→?所以解得?所以AD＝(－1，2)． ?－3（x－3）＋6（y－2）＝0，?y＝1，??

6.已知三个力F1＝(3，4)，F2＝(2，－5)，F3＝(x，y)，满足F1＋F2＋F3＝0，若F1与F2

的合力为F，则合力F与力F1夹角的余弦值为________．

解析：因为F1＋F2＋F3＝0，F1＋F2＝F， 所以F＝－F3，因为F3的坐标为(－5，1)， 所以F＝－F3＝(5，－1)， 设合力F与力F1的夹角为θ，

F1·F3×5＋4×（－1）1126

则cos θ＝＝2＝. 222

|F1||F|1303＋4·5＋（－1）1126

答案： 130

7.已知直线的方向向量为a＝(3，1)，且过点A(－2，1)，则直线方程为____________．

1

解析：由题意知，直线的斜率为，设直线方程为x－3y＋c＝0，把(－2，1)代入得c3

＝5，

故所求直线方程为x－3y＋5＝0. 答案：x－3y＋5＝0 8．已知|a|＝3，|b|＝4，|c|＝23，且a＋b＋c＝0，则a·b＋b·c＋c·a＝________．

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