2019高考数学黄金专题100讲 第80讲 圆锥曲线的定点、定直线、定

第80讲 圆锥曲线的定点、定直线、定值问题

I．题源探究·黄金母题

【例1】【2018安徽合肥高三二模】已知点A?1,0?和动点B，以线段AB为直径的圆内切于圆O:x?y?4． （I）求动点B的轨迹方程；

（II）已知点P?2,0?，Q?2,?1?，经过点Q的直线l与动点B的轨迹交于M，N两点，求证：直线PM与直线PN的斜率之和为定值．

22精彩解读

【试题来源】2018安徽合肥高三二模． 【母题评析】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系——定点问题，考查考生的分析问题解决问题的能力．

【思路方法】（1）解题时注意圆锥曲线定义的两种应用，一是利用定义求曲线方程，二是根据曲线的定义求曲线上的点满足的条件，并进一步解题． （2）求定值问题常见的方法

x2y2??1；【答案】（I）（II）见解析． 43【解析】试题分析：（I）设以线段AB为直径的圆的圆心为C，取

A'??1,0?，借助几何知识分析可得动点B的轨迹是以A，A'为焦点，①从特殊入手，求出定值，再证明这个

长轴长为4的椭圆，根据待定系数法可得动点B的轨迹方程为

22值与变量无关．

②直接推理、计算，并在计算推理的过

xy??1；（II）①当直线l垂直于x轴时，不合题意；②当直线l的程中消去变量，从而得到定值． 43斜率存在时，设直线l的方程为y?1?k?x?2?，与椭圆方程联立消元后可得二次方程，根据二次方程根与系数的关系及斜率公式可得

kPM?kPN?3，为定值．

试题解析：

（I）如图，设以线段AB为直径的圆的圆心为C，取A'??1,0?．

依题意，圆C内切于圆O，设切点为D，则O，C，D三点共线，O

为AA'的中点，C为AB中点，?A?B?2OC．

?BA'?BA?2OC?2AC?2OC?2CD?2OD?4?AA'?2，

∴动点B的轨迹是以A，A'为焦点，长轴长为4的椭圆，

x2y2设其方程为2?2?1(a?b?0)，则2a?4，2c?2，

ab?a?2，c?1，?b2?a2?c2?3，

x2y2?1． ?动点B的轨迹方程为?43（II）①当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为x?2，此时直线l与椭

x2y2??1相切，与题意不符． 圆43②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y?1?k?x?2?．

?y?1?k?x?2?,?由?x2y2，消去y整理得

?1??3?4?4k2?3x2?16k2?8kx?16k2?16k?8?0．

???∵直线l与椭圆交于M，N两点， ∴??16k2?8k??2?44k2?316k2?16k?8?0，解得k?．

????1216k2?8k16k2?16k?8设M?x1,y1?,N?x2,y2?，则x1?x2?， ,x1x2?224k?34k?3?kPM?kPN?k?x1?2?k?x2?2??1y1y1?

?2???2k????x1?2x2?2x1?2x2?2x?2x?22?1??2k?x1?x2?4x1?x2?4?2k?

x?2x?2xx?2x?x?4?1??2??12?12?16k2?8k????424k?3??． ?2k??2k?3?2k?3（定值）2216k?16k?8?16k?8k??2???424k2?34k?3??II．考场精彩·真题回放

【例1】【2017高考全国II16】已知F是抛物线C:y?8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则

2

【命题意图】本题主要考查抛物线的定义、梯形中位线在解析几何中的应用． 【考试方向】这类试题在考查题型上，可以是选择题、填空题或解答题的形式出现，若作为解答题则难度较大． 【难点中心】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到

FN? ． 【答案】6

【解析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与x轴交于点F'，做MB?l与点B，NA?l与点A，

由抛物线的解析式可得准线方程为x??2，则AN?2,FF'?4，在直角梯形ANFF'中，中位线BM?准线的距离)进行等量转化．如果问题中AN?FF'?3，由抛物线的定义有：2涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．

MF?MB?3，结合题意，有MN?MF?3，线段FN的长度：

FN?FM?NM?3?3?6．

x2y2【例2】【2017高考全国I20】已知椭圆C：2?2=1（a>b>0），四

【命题意图】这类题主要考查直线与圆ab锥曲线的位置关系——定点、定直线、

33点P1（1，1），P2（0，1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点定值问题．能较好的考查考生的运算求22在椭圆C上． （I）求C的方程；

（II）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点．

【解析】试题分析：（I）根据P3，P4两点关于y轴对称，由椭圆的对称性可知C经过P3，P4两点．另外

解能力、复杂式子的变形能力、分析问题解决问题的能力等．

【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或解答题的形式出现，难度中等，若作为解答题则难度较大．

1113知，C不经过点P1，【难点中心】 ???2222aba4b1．椭圆的对称性是椭圆的一个重要性∴点P2在C上．因此P1,P3,P4在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C的方程；（II）先设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，在设直y?kx?m线l的方程，当l与x轴垂直，通过计算，不满足题意，再设设l：

质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关

x2通过一定关系转化，（m?1），将y?kx?m代入?y2?1，写出判别式，韦达定理，表键是设出直线方程，4找出两个参数之间的关系式，从而可以

示出k1?k2，根据k1?k2??1列出等式表示出k和m的关系，判断出直

判断过定点情况．另外，在设直线方程

线恒过定点．

之前，若题设中为告知，则一定要讨论

试题解析：（I）由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知C经过P3，直线斜率不存在和存在情况，接着通法又由P4两点．

1113知，C不经过点P1，∴点P2在C上．因???2222aba4b是联立方程组，求判别式、韦达定理，根据题设关系进行化简． 2．求轨迹方程的常用方法有： （1）直接法：直接利用条件建立x,y之间的关系F?x,y??0．

（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．

（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．

?1?1,2

??x2?a?4?b2此?，解得?2．故C的方程为?y2?1．

4??1?3?1?b?1

??a24b2（II）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，

如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知t?0，且|t|?2，可得A，B的4?t24?t2坐标分别为（t，），（t，?）．

224?t2?24?t2?2???1，得t?2，不符合题设． 则k1?k2?2t2t（4）代入（相关点）法：动点P?x,y?依赖于另一动点Q?x0,y0?的变化而运动，常利用代入法求动点P?x,y?的轨迹方程．

x2从而可设l：y?kx?m（m?1）．将y?kx?m代入?y2?1得

4． (4k2?1)x2?8kmx?4m2?4?0．由题设可知?=16(4k2?m2?1)?0．

4m2?48km设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=?2，x1x2=．

4k?14k2?1y?1y2?1kx1?m?1kx2?m?1???而k1?k2?1

x1x2x1x2?2kx1x2?(m?1)(x1?x2)．

x1x2由题设k1?k2??1，故(2k?1)x1x2?(m?1)(x1?x2)?0．

4m2?4?8kmm?1即(2k?1)?2． ?(m?1)?2?0，解得k??24k?14k?1m?1当且仅当m??1时，??0，欲使l：y??x?m，

2即y?1??m?1(x?2)，∴l过定点?2,?1?． 2【例3】【2017高考全国II】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：

x2?y2?1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP?2NM． 2（I）求点P的轨迹方程；

（II）设点Q在直线x??3上，且OP?PQ?1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．

【答案】（I） x2?y2?2；（II）证明略．

【解析】试题分析：（I）设出点P的坐标，利用NP?2NM得到点P

与点，M坐标之间的关系即可求得轨迹方程为x2?y2?2；（II）利用

OP?PQ?1可得坐标关系?3m?m2?tn?n2?1，结合（I）中的结论

整理可得OQPF?0，即OQ?PF，据此即可得出题中的结论． 试题解析：（I）设P?x,y?,M?x0,y0?，设N?x0,0?，

NP??x?x0,y?,NM??0,y0?．由NP?2NM得x0?x,y0?2y． 2x2y2??1． ∵M?x0,y0?在C上，∴22因此点P的轨迹方程为x?y?2．

（II）由题意知F??1,0?．设Q??3,t?,P?m,n?，则

22OQ???3,t?,PF???1?m,?n?,OQ?PF?3?3m?tn， OP??m,n?,PQ???3?m,t?n?．

22由OP?PQ?1得?3m?m?tn?n?1，

22又由（I）知m?n?2，故3?3m?tn?0．

∴OQPF?0，即OQ?PF．又过点P存在唯一直线垂直于OQ，∴过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．

III．理论基础·解题原理

考点一 定点问题

解决定点问题的常见模型：三大圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）中的顶点直角三角形的斜边所在的直线过定点．

（I）直线过定点，由对称性知定点一般在坐标轴上，如直线y?kx?b，若b为常量，则直线恒过(0,b)点；若

bb为常量，则直线恒过(?,0)． kk（2）一般曲线过定点，把曲线方程变为f1(x,y)??f2(x,y)?0（?为参数），解方程组?考点二 定直线问题

模型：三大圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）中，当定点P(x0,y0)在曲线上时，相应的定直线

?f1(x,y)?0,即得定点．

?f2(x,y)?0x0xy0y?2?1，a2bx0xy0y?2?1，y0y?p(x0?x)均为在定点P(x0,y0)处的切线． 2ab考点三 定值问题

模型：三大圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）中，曲线上的一定点P与曲线上的两动点A，B满足直线PA与直线PB的斜率互为相反数，则直线AB的斜率为定值．

IV．题型攻略·深度挖掘

【考试方向】

这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等． 【技能方法】

1．定点问题：多为两类，一是证明直线过定点，关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况，此类问题中的定点多在坐标轴上；二是证明圆过定点，此类问题应抓住圆心，利用向量转化相应条件，从而找出相应参数满足的条件，确定定点．求定值问题常见的方法有两种： （I）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；

（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值．

2．定直线问题：证明两动直线的交点在某定直线上，一般都用特殊到一般的解题思想，即先取斜率不存在或者斜率为0等特殊情况，求出交点，把这条定直线求出来，再证明对任意情况，这条定直线都是成立的，即“先猜再证”．

3．定值问题：就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思路是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类问题中选择消元的方向是非常关键的． 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略

（I）求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值． （2）求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的关系式，再利用题设条件化简、变形求得．

（3）求某线段长度为定值．利用长度公式求得关系式，再依据条件对关系式进行化简、变形即可求得．

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