2014年高考理科数学真题解析分类汇编：函数(13)

时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故f(x)在x＝－2处取得极小值f(－2)＝0，在x＝0处取得极大值f(0)＝4.

－x[5x＋（3b－2）]1－x

0时，(2)f′(x)＝x∈ ， 31－2x1－2x

151

0时，有5x＋(3b－2)≤0，从而＋(3b－2)≤0，得b≤. 依题意当x∈ 3391

. 所以b的取值范围为 9

7．[2014·全国卷] 曲线y＝xex1在点(1，1)处切线的斜率等于( )

A．2e B．e C．2 D．1

－－－－－

7．C [解析] 因为y′＝(xex1)′＝ex1＋xex1，所以y＝xex1在点(1，1)处的导数是y′|x＝1＝e11＋e1

－1－

＝2，故曲线y＝xex1在点(1，1)处的切线斜率是2. 8．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( ) A．0 B．1 C．2 D．3

1

8．D [解析] y′＝a－x＝0时，y′＝2，代入解得a＝3.

x＋1

21．，，，[2014·陕西卷] 设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数． (1)令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N＋，求gn(x)的表达式； (2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围；

(3)设n∈N＋，比较g(1)＋g(2)＋ ＋g(n)与n－f(n)的大小，并加以证明．

－

x

21．解：由题设得，g(x)＝(x≥0)．

1＋x(1)由已知，g1(x)＝

x， 1＋x

x1＋xx

g2(x)＝g(g1(x))＝，

x1＋2x1＋1＋xg3(x)＝

xxgn(x)＝. 1＋3x1＋nx

下面用数学归纳法证明．

x①当n＝1时，g1(x)＝

1＋xx

②假设n＝k时结论成立，即gk(x)＝1＋kx

x1＋kxgk（x）x

那么，当n＝k＋1时，gk＋1(x)＝g(gk(x))＝＝＝

x1＋gk（x）1＋（k＋1）x1＋

1＋kx由①②可知，结论对n∈N＋成立． (2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥ax

设φ(x)＝ln(1＋x)－x≥0)，

1＋x

ax

1＋x

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