数学建模 层次分析法(2)

数学建模,matlab程序

1.2 构造判断矩阵

层次结构反映了因素之间的关系，但准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同，在决策者的心目中，它们各占有一定的比例。

在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时，遇到的主要困难是这些比重常常不易定量化。此外，当影响某因素的因子较多时，直接考虑各因子对该因素有多大程度的影响时，常常会因考虑不周全、顾此失彼而使决策者提出与他实际认为的重要性程度不相一致的数据，甚至有可能提出一组隐含矛盾的数据。为看清这一点，可作如下假设：将一块重为1千克的石块砸成n小块，你可以精确称出它们的重量，设为w1,L,wn，现在，请人估计这n小块的重量占总重量的比例（不能让他知道各小石块的重量），此人不仅很难给出精确的比值，而且完全可能因顾此失彼而提供彼此矛盾的数据。

设现在要比较n个因子X={x1,L,xn}对某因素Z的影响大小，怎样比较才能提供可信的数据呢？Saaty等人建议可以采取对因子进行两两比较建立成对比较矩阵的办法。即每次取两个因子xi和xj，以aij表示xi和xj对Z的影响大小之比，全部比较结果用矩阵A=(aij)n×n表示，称A为Z X之间的成对比较判断矩阵（简称判断矩阵）。容易看出，若xi与xj对Z的影响之比为aij，则xj与xi对Z的影响之比应为

aji=

1

。 aij

1

（i,j=1,2,L,n） aij

定义1 若矩阵A=(aij)n×n满足 （ii）aji=（i）aij>0，

则称之为正互反矩阵(易见aii=1，i=1,L,n)。

关于如何确定aij的值，Saaty等建议引用数字1~9及其倒数作为标度。表1列出了1~9标度的含义：

表1 标度的含义

标度

1 3 5 7 9

2，4，6，8 倒数

含 义

表示两个因素相比，具有相同重要性 表示两个因素相比，前者比后者稍重要 表示两个因素相比，前者比后者明显重要 表示两个因素相比，前者比后者强烈重要 表示两个因素相比，前者比后者极端重要 表示上述相邻判断的中间值

若因素i与因素j的重要性之比为aij，那么因素j与因素i重要性之比为aji=1/aij。

从心理学观点来看，分级太多会超越人们的判断能力，既增加了作判断的难度，又容易因此而提供虚假数据。Saaty等人还用实验方法比较了在各种不同标度下人们判断结果的正确性，实验结果也表明，采用1~9标度最为合适。

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