高中数学竞赛高斯函数(3)

对于以上结论，可通过画示意图来证明。 例如，位于由直线y

23x

12

0和0 x 10围成的三角形内的格点个数等于

34

x 10

[

2x3

1

212121

] [ 1 ] [ 2 ] [ 10 ] 0 0 1 2 2 3 4 4 5 6 272323232

高斯函数在数列和数论中也有极为广泛的应用，在数列和数论部分可以再得到补充。 二、练习

502

1、计算和式 [

n 0

305n503x

]的值。

12.5

2、求函数f(x) [

12.5x

2x 72x 1

] 3、解方程[。 34

] [ ](0 x 10)的值域。

4、试证对任意实数x，有 [

k 0

x 22

k 1

k

] [x]。

5、求方程[] [

1!

xx2!

] [

x10!

] 1001的整数解。

6

、设

2

,证明：对一切n N,都有[ [ n]] [ n] [ n]。

12

12

2*

7、求所有的实数

，使得] ]对一切正整数n都成立。

n

8、设xi R(i 1,2, ,n).求证： x R使下列不等式成立： {x xk}

k 1

n 12

。

9、若对任何整数n,a,b,c都满足[na] [nb] [nc]。 证明：a,b,c中至少有一个是整数。

10、证明：对任意正整数n

都有}

11、证明 R,使得对 n N,[ ]与n的奇偶性相同，并给出一个如此的正实数。 12、在数列{an}中，a

1是正整数，且an 1 [an

45

。试求出所有的a1使得

**N

当n 2时有an 1(mod10)。

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