高中数学竞赛高斯函数

高斯函数（二）

一、常见题型与相关例题 1、 整数问题

12 22 19872

例1、 在项数为1987的数列 , , , 中有多少个不同的整数？

1987 1987 1987

2、 方程问题

方程问题主要有解方程与讨论方程的根两种题型。 例2、 解方程3x3 [x] 3。

例3、 证明方程[x] [2x] [22x] [23x] [24x] [25x] 12345无实数解。 3、 恒等问题

这类问题主要是证明一些由[x]构成的恒等式。例如

n n 1

2 2 n(n N).

k

[nx]. n

n 1

例4、（Hermite恒等式）若n是正整数，x R，则 x

k 0

例5、已知n

N ,求证：

4、 不等问题

不等问题主要涉及含[x]的不等式分析。此类问题一般难度较大。 例6、设x,y R，试证：

（1）、2[]x2[] []y[ ]x[ y;] x y（2）、3[]x3[] []y[ ]x2[ y] x y注：与上面不等式相类似地还有 （3）、4[]x4[] []y[ ]x2[ y] 2[x .y] y x（4）、5[]x5[] []y[ ]x3[ y] 3[x .y] y x

n

.

例7、设x R,n N,试证：n[x]

k 1

[kx]k

[nx].

例8

、证明不等式 对任意不小于1的实数 ,

立。

例9、求所有正整数n使得min(k2 2 ) 1991.

k N

k

n

5、 求值问题

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