2013届人教A版理科数学课时试题及解析(71)不等式的证明与柯西、(2)

课时作业(七十一)

【基础热身】

1．≥ [解析] 因为(m2＋1)(n2＋4)－(mn＋2)2＝(2m－n)2≥0，所以a≥b.

a2－b2b2－a2a2b22．> [解析] P－Q＝＋－a－b＝＋baba

a＋b a－b 2＝a、b∈R＋，且a≠b，所以P－Q>0. ab

3．3 [解析] 由排序不等式知a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，所以ab＋bc＋ca≤3，即ab＋bc＋ca的最大值为3.

4．a≥4或a≤－2 [解析] 因为(x＋2y＋2z)2≤(x2＋y2＋z2)(12＋22＋22)，

所以x＋2y＋2z x＋y＋z 1＋2＋2 ＝3，

因为不等式|a－1|≥x＋2y＋2z，对满足x2＋y2＋z2＝1的一切实数x、y、z恒成立， 所以|a－1|≥3，解得a≥4或a≤－2.

【能力提升】

a2＋b2＋c2

25．≤0 [解析] ∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)＝0，展开，得ab＋bc＋ca＝－. 2

∴ab＋bc＋ca≤0.

6．9 [解析] 由柯西不等式得(a2＋b2)(x2＋y2)≥(ax＋by)2，所以

26222 ax＋by x＋y≥9. 4a＋b7．35 [解析] 反序和是最小值，即最小值为1×5＋2×4＋3×3＋4×2＋5×1＝35.

a－ca－ca－b＋b－ca－b＋b－cb－ca－b18．4 [解析] ∵＝2＋＋≥4，a－bb－ca－bb－ca－bb－ca－b

1411n，而＋≥n≤4. b－ca－ca－bb－ca－c

29.a≤2 [解析] 由已知得b＋c＝2－a,2b2＋3c2＝4－a2，联想到柯西不等式得(2b211

11≥(b＋c)2， ＋3c2) 2 352∴(4－a2)×≥(2－a)2，∴11a2－24a＋4≤0a≤2. 611

11110．2k＋3 [解析] 当n＝k＋1时，不等式变为＋…＋>1， k＋1＋1k＋1＋23 k＋1 ＋1

111即＋…＋>1，所以左边有2k＋3项． k＋1＋1k＋1＋2k＋1＋ 2k＋3

x＋y 2x＋y2 11．2＋ [解析] 因为xy≤－(x＋y)≥1，令t＝x＋y，则有t24 2－4t－4≥0，解得t≥2＋或t≤2－2，因为x，y∈R＋，所以t≥2＋12．[解答] 证明：由三角形中的正弦定理得

a14R2

sinA＝＝ 2RsinAa214R14R2

＝， sinBbsinCc24R24R2222 4R于是不等式左边＝(a＋b＋c) ab＋c

2R2R2Rabc2＝36R2. ≥ bc a

所以原不等式成立．

【难点突破】

x13．[解答] 由x1＝1，xn＋1＝1＋，p>0知，xn>0(n∈N*)． p＋xn

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