关于矩阵秩的一个不等式(2)

第6卷第1期　　　　　　　　　　　　　　　沈华:关于矩阵秩的一个不等式　　　　　　　　　　　　　17

定理的证明　设A、B有如下的满秩分解

(3)A=H1L1,B=H2L2

这里H1、H2分别为n×r(A)、n×r(B)列满矩阵,而L1、L2分别为r(A)×m、r(B)×m行满矩阵,则从引理可知CA=CH1,CB=CH2及RA=RL1,RB=RL2。根据(3)可得

A+B=H1L1+H2L2=(H1,H2)

LL

12

(4)

其中(H1,H2)为m×[r(A)+r(B)]矩阵,而(H1,H2)和

LL

12

LL

12

为[r(A)+r(B)]×n矩阵。接下来我们需要计算

的秩,由维数公式,可得

r(H1,H2)=dimC(H1,H2)=dim(CH1+CH2)=

dim(CA+CB)=dimCA+dimCB-dim(CA∩CB)=

r(A)+r(B)-d1

LL

同理可得r

12

=r(A)+r(B)-d2。因而由(4)知

L12

r(A+B)≤mr(H1,H2),r

r(Ar(B)-m2}(5)

另一方面,据(4)及Sylvester得

r(A+),LL

12

-[(A)+r(B)]=r(A)+r(B)-(d1+d2)(6)

6)(2。参考文献

[1]屠伯埙1线性代数—方法导引1上海:复旦大学出版社,19861[2]樊恽主编1代数学辞典1武汉:华中师范大学出版社,19941

2002年第4期第52页载

“电子科技大学高等数学期末试题(附答案)”补遗

(7分)求函数f(x)=七、

(x2-2x)2在[0,3]上的最大值与最小值。[fmax=

[f(x)+

∫

9,fmin=0]

(7分)设f″(x)在[0,Π]上连续,且f(0)=2,f(Π)=1,求八、

(10分)过点(-1,0)作抛物线y=九、

(1)求该平面图形的面积;[=

]3

Π

(x)]sinxdx.[=3]f″

x的切线,该切线与抛物线及x轴围成平面图形。

(2)求该平面图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积。[=(7分)设在[0,1]上f″(x)<0,求证:十、

∫

]6

1

f(x)dx≤f().02

附加题:(5分,做对计分)

(n=2,3,…).求证:数列{xn}收敛,并求其极限。设0<x1<3,xn=

3+xn-1

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