关于矩阵秩的一个不等式

高等数学研究Vol16,No11

　　　　　　　　　　　　　　　16STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICS　　　　　　　　　　Mar.,2003

关于矩阵秩的一个不等式

沈　华　(湖北大学数学系　武汉　430062)

Ξ

对任意矩阵M,用r(M)表示M的秩。熟知,矩阵的秩是矩阵的一个重要不变量,对矩阵的加法和乘法,我们有下面两个基本的不等式。

(一)设A、B是两个m×n矩阵,则

(1)r(A+B)≤r(A)+r(B)

　　(二)设A、B分别是两个m×n、n×l矩阵,则

r(A)+r(B)-n≤r(AB)≤min{r(A),r(B)}它通常被称为Sylvester不等式。

对这两个不等式,有不同的证明和理解,见[1、2]。在本文里,,用不等式(二)来研究不等式(一),从中给出r(A+B)≤r(+r(B知识是基本的,可在[1、2]里找到。

现在,对任意m×n矩阵M,行向量所生成的向、量空间。明显地,进一步地,对任意分块矩阵M=RM=r(M)。=(M2N=

2

CM=CM1+CM2,向量空间RN=RN1+RN2。

定理　设A、B是两个m×n矩阵,则

(2)r(A)+r(B)-(d1+d2)≤r(A+B)≤r(A)+r(B)-max{d1、d2}

这里d1=dim(CA∩CB),d2=dim(RA∩RB)。

(2)是比(1)精确的不等式。根据(2)式,我们立即得到下面的推论1　设A、B、d1、d2的意义如上述定理所述,则r(A+B)=r(A)+r(B)当且仅当d1=d2=0。

注意到r(-B)=r(B)及C-B=CB、R-B=RB,这样根据推论1,可以得到有趣的推论2　设A、B是两个m×n矩阵,则有r(A+B)=r(A)+r(B)当且仅当r(A-B)=r(A)+r(B)。

先证明一个预备性结果。

引理　设A是个秩为r的m×n矩阵,对A的任意满秩分解A=HL,均有CA=CH,RA=RL,这里H为m×r列满矩阵,L为r×n行满矩阵。

证明　设A=(Α…、…、1、Α2、Αn),H=(Β1、Β2、Βr),L=(lij)r×n,从A=HL得到Αi=l1iΒ1+l2iΒ2+…+lriΒr(1≤i≤n)。这样由Α…、…、1、2、n生成的向量空间CA<由Β、ΑΑΒ2、Βr生成的向量空间CH.注意到dimCA=r(A)=r(H)=dimCH,我们立即得到CA=CH。

又A的转置矩阵A′有满秩分解A′=L′,于是CA′=CL′,也就是说,RA=RL。H′

Ξ

收稿日期:2002—03—01.

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