高中数学导数及其应用知识点总结及练习教案学生(3)

(1)如果函数()y f x =在区间(,)a b 上为增函数,则()0f x '≥(其中使()0f x '=的x 值不构成区间)； (2) 如果函数()y f x =在区间(,)a b 上为减函数,则()0f x '≤(其中使()0f x '=的x 值不构成区间)； (3) 如果函数()y f x =在区间(,)a b 上为常数函数,则()0f x '=恒成立。 2. 求函数的极值：

设函数()y f x =在0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有0()()f x f x >（或0()()f x f x <），则称0()f x 是函数()f x 的极小值（或极大值）。

可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是：

（1）确定函数()f x 的定义域；（2）求导数()f x '；（3）求方程()0f x '=的全部实根，12n x x x <<<，

顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：x 变化时，()f x '和()f x 值的变化情况：

x

…

正负 0

正负 0

正负

单调性

单调性

单调性

（4）检查()f x '的符号并由表格判断极值。 3. 求函数的最大值与最小值：

如果函数()f x 在定义域I 内存在0x ，使得对任意的x I ∈，总有0()()f x f x ≤，则称0()f x 为函数在定义域上的最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一，但在定义域内的最值是唯一的。

求函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值和最小值的步骤： （1）求()f x 在区间(,)a b 上的极值；

（2）将第一步中求得的极值与(),()f a f b 比较，得到()f x 在区间[,]a b 上的最大值与最小值。 4. 解决不等式的有关问题：

（1）不等式恒成立问题（绝对不等式问题）可考虑值域。

()()f x x A ∈的值域是[,]a b 时，

不等式()0f x <恒成立的充要条件是max ()0f x <，即0b <；

不等式()0f x >恒成立的充要条件是min ()0f x >，即0a >。

()()f x x A ∈的值域是(,)a b 时，

不等式()0f x <恒成立的充要条件是0b ≤； 不等式()0f x >恒成立的充要条件是0a ≥。

（2）证明不等式()0f x <可转化为证明max ()0f x <，或利用函数()f x 的单调性，转化为证明

0()()0f x f x <≤。

5. 导数在实际生活中的应用：

实际生活求解最大（小）值问题，通常都可转化为函数的最值. 在利用导数来求函数最值时，一定要注意，极值点唯一的单峰函数，极值点就是最值点，在解题时要加以说明。

《导数及其应用》单元测试题

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