2019-2020年高考数学一轮复习专题2.10函数的综合问题与实际应用
讲
【考纲解读】
考 点 考纲内容 5年统计 分析预测 1.会从实际问题中抽象出函数模型，进而利用函数2014?浙江理10； 能将一些简单的实际问题函数的简单应用 转化为相应的函数问题，并给予解决. 2015?浙江文20；理18； 2016?浙江文12，20；理18； 2017?浙江17. 知识求解； 2.函数的综合应用. 3.备考重点 （1）一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数以及其他函数模型. （2）函数的综合应用. 【知识清单】
1. 常见的几种函数模型
(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0). (2)反比例函数模型：y＝(k≠0).
(3)二次函数模型：y＝ax＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0). (4)指数函数模型：y＝a·b＋c(b>0，b≠1，a≠0). (5)对数函数模型：y＝mlogax＋n(a>0，a≠1，m≠0). 对点练习
某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( ) A.2018年 【答案】B
B.2019年
C.2020年
D.2021年
x2
kx元
2.指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质 函数 性质 在(0，＋∞) 上的增减性 增长速度 图象的变化 值的比较 对点练习
下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是( )
y＝ax (a>1) 单调递增 越来越快 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 y＝logax (a>1) 单调递增 越来越慢 随x的增大逐渐表现为与y＝xn (n>0) 单调递增 相对平稳 随n值变化而各有不同 x轴平行 nx存在一个x0，当x>x0时，有logax
【考点深度剖析】
高考对函数应用的考查，常与二次函数、三角函数、数列、基本不等式及导数等知识交汇，以解答题为主要形式出现．
高考对一次函数、二次函数模型的考查主要有以下两个命题角度： (1)单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题； (2)以分段函数的形式考查一次函数和二次函数．
【重点难点突破】
考点1 一次函数与分段函数模型
【1-1】【2017湖北模拟】小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )
【答案】C
因此排除B.
【1-2】 甲、乙两人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到中点改为跑步，而乙则是先跑步，到中点后改为骑自行车，最后两人同时到达B地. 已知甲骑自行车比乙骑自行车快. 若每人离开甲地的距离S与所用时间t的函数用图象表示，则甲、乙两人的图象分别是( ) A． 甲是(1)，乙是(2)
B．甲是(1)，乙是(4) D．甲是(3)，乙是(4)
C． 甲是(3)，乙是(2)
【答案】B
【解析】显然甲图象为(1)或(3)，乙图象为(2)或(4).又因为 甲骑车比乙骑车快，即甲前一半路程图象的中y随x的变化比乙后一半路程y随x的变化要快，所以 甲为(1)，乙为(4).
选B.
【1-3】【2017·上海宝山区模拟】王先生购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：(注：本地话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位)
网络 甲：联通130 乙：移动“神州行” 月租费 12元 无 本地话费 长途话费 0.36元/分 0.06元/秒 0.60元/分 0.07元/秒 若王先生每月拨打本地电话的时间是拨打长途电话时间的5倍，若要用联通130，应最少打多少秒长途电话才合算？( ) A．300 C．500 【答案】B
B．400 D．600
【领悟技法】
1．在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)．
2．在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数．如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数．
分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起．要注意各段变量的范围，特别是端点． 【触类旁通】
【变式一】物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )
A 【答案】B
B C D 【解析】由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故选B。
【变式二】某网民用电脑上因特网有两种方案可选：一是在家里上网，费用分为通讯费(即电话费)与网络维护费两部分．现有政策规定：通讯费为0.02元/分钟，但每月30元封顶(即超过30元则只需交30元)，网络维护费1元/小时，但每月上网不超过10小时则要交10元；二是到附近网吧上网，价格为1.5元/小时．
（Ⅰ）将该网民某月内在家上网的费用y(元)表示为时间t(小时)的函数； （Ⅱ）试确定在何种情况下，该网民在家上网更便宜？ 【答案】
所以上网时间超过60小时则在家上网便宜． 考点2 二次函数模型
【2-1】【2017河北石家庄质检】加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图3记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( ) A.3.50分钟 C.4.00分钟 【答案】B
【解析】根据图表，把(t，p)的三组数据(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)分别代入函数关系0.7＝9a＋3b＋c，????7a＋b＝0.1，式，联立方程组得?0.8＝16a＋4b＋c，消去c化简得?
?9a＋b＝－0.3，???0.5＝25a＋5b＋c，
B.3.75分钟 D.4.25分钟
2
a＝－0.2，??1?215225?451?15?22
解得?b＝1.5，所以p＝－0.2t＋1.5t－2＝－?t－t＋?＋－2＝－?t－?＋
216?164?5?5?
??c＝－2.
1315
，所以当t＝＝3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟. 164
【2-2】某汽车销售公司在A、B两地销售同一中品牌的车，在A地的销售利润（位：万元）为y1?4.1x?0.1x2，在B地的销售利润（单位：万元）为y2?2x，其中x为销售量（单位：辆），若该公司在两地共销售16辆这种品牌车，则能获得的最大利润是（ ） A． 10.5 B. 11万元 C. 43万元 D.
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