几何证明选讲教学设计（5讲共15课时）(4)

立?

∵BT切⊙O于点B ， ∴?ABM=?ACB． ∵?ABM=?PBE ， ∴?PBE=?ACB． ∵EF∥BC， ∴?F=?ACB． ∴?PBE=?F．

∵?P是公共角 ， ∴ΔPBE∽ΔPFA． ∴

PBPE． ∴PA·PB=PE·PF． ?PFPA评析：本题第（1）小题是在圆中求证等积式的问题．根据弦切角定理及已知条件PE∥BC，证得ΔPBE∽ΔPFA，得到

PBPE，从而有PA·PB=PE·PF．第（2）题中当点P为AB?PFPA延长线上一点时，由于相切及PE∥BC的条件没变，因此相关的角的相等关系不变，仍可证得ΔPBE∽ΔPFA，得出相同的结论．

例2．如图15-33，已知⊙A、⊙B都经过点C，BC是⊙A的切线，

⊙B交AB于点

D，连结CD并延长交⊙A于点E，连结AE? （1）求证：AE⊥AB；

（2）求证：DE·DC=2AD·DB；

（3）如果DE·DC=8，AE=3，求BC的长?

分析：要证明AE⊥AB，只要证明∠EAD=90°，也就是证明ΔADE

的另外两个角互余，结合圆的基本性质和切线的性质可得证．

解：（1）证明：∵AC与⊙B相切 ， C ∴AC⊥BC，

∴?ACD＋?BCD=90?．A F B D ∵AC=AE，BC=BD， ∴?ACD=?E，?BCD=?E BDC．

∵?ADE=?BDC， 图15-33

∴?E＋?ADE=90?．

∴?EAD=90? ． ∴AE⊥AB．

（2）证明：延长DB交⊙B于点E，连结FC，则DF=2DB，

?DCF=90?．

∵AC与⊙B相切， ∴?ACD=?F ．∴?E=?F．

∴RtΔADE∽RtΔCDF．

∴

ADDE ． ∴DE·DC=AD·DF ． ?CDDF ∵DF=2DB， ∴DE·DC=2AD·DB．

（3）∵DE·DC=2AD·DB，DE·DC=8， ∴AD·DB=4．

∵AC=AE=3，BD=BC，AB2=AC2＋BC2 ∴（AD＋DB）2=AE2＋BC2 ．

∴AD2＋2AD·DB＋DB2=9＋BC2．

∴AD2＋8=9 ． ∴AD=1．

∴BD= 4． 即BC= 4．

评析：第（2）题的突破口在2AD·DB的转化，除了延长半径成直径这一方法外，还可以延长DA到G，使AG=DA等其它方法．事实上，在证明一些带有倍数的乘积式（或比例式）时，常常需要将它转化为标准的比例式，即用具体的线段代换“倍线段”，以便进一步探寻．本题的第（3）问还可以通过切割线定理来解决，同样需要运用整体思维方法和方程的思想?

例3．已知⊙O1与⊙O2的直径分别为4和2，如果它们有两条公切线互相垂直，试画出所有可能的图形，并求出圆心距的长?

分析：条件中没有明确说明公切线的类型，因此应分为三类：两条都是外公切线；两条都是内公切线；一条外公切线、一条内公切线．

解析：共有三种可能的图形，如下所示：

E A B D C 图1

· O1

C 图2 A

D E B · O2

O1 E A

C D 图3

O2 B

· · O1 O2

图1：连结O1A、O2B，则O1A⊥AB，O2B⊥AB．作O2E⊥O1A，垂足为E．

根据条件可得在RtΔO1O2E中，O1E=O1A－O2B=2－1=1，?O1O2A= 45?，

∴圆心距O1O2=2．

图2：连结O1O2，则O1O2经过两条公切线的交点E?连结O1A、O2B，

则O1A⊥AB，O2B⊥AB．

在RtΔO1AE中，O1A=2，?O1EA=45? ，∴O1E=22． 在RtΔO1BE中，O2B=1，?O2EB= 45? ，∴O2E=2． ∴圆心距O1O2=32．

图3：连结O1A、O2B、O1C、O2D，

则O1A⊥AB、O2B⊥AB、O1C⊥CD，O2D⊥CD．

连结O1O2，作O2E⊥O1A，垂足为E，此时O2、D、E三点共线．

在RtΔO1O2E中，O1E=O1A－O2B=2－1=1，O2E=AB=O1C＋O2D=2＋1=3，

∴圆心距O1O2=O1E2?O2E2?32?12?10．

评析：因为两个圆的半径分别为2和1，因此若两个圆外切，不可能出现两条外公切线互相垂直或一条外公切线与一条内公切线互相垂直的情况．由此可以断定两圆的位置关系为相交或外离．当两圆外离时，又会有两条内公切线互相垂直（如图2）和一条外公切线与一条内公切线互相垂直（如图3）这两种可能．

在解题过程中，应用了这样一些性质：如果两圆有两条外（或内）公切线，并且它们相交，那么交点一定在两圆的连心线上，并且连心线平分两条外（或内）公切线的夹角．图3是容易被遗漏的一种情况，在图3中，两条互相垂直的公切线和两圆的半径构成两个正方形．

三．精选试题演练

1、如图15-34，AB=BC=CD，∠E=40°，则∠ACD= ．

B A E D 图15-34

C

B O 图15-35

C D A P A D C B 图15-36

答案: 15°.

2、如图15-35，已知⊙O的切线PC与直径BA的延长线相交于点P，C是切点，过A的切线交PC于D，如果CD∶PD=1∶2，DA=2，那么⊙O的半径OC= ． 答案:23；

3、如图15-36，ΔABC内接于⊙O，AD切⊙O于A，∠BAD=72°，则∠ACB= ． 答案:108°.

4、如图15-37，已知AD、AE分别和圆相切于点D、E，直线BC和圆相切于点F，和AD、AE分别相交于B、C两点?AB=8，BC=7，AC=9，?DAE=50?，则AD=——————，BF=——————，?OAD=——————，?DOE=——————，?DFE=——————?? 答案:12，4，25?，130?，115?.

5、如图15-38，ABCD是⊙O的内接四边形，AC平分∠BAD并与BD交于E点，CF切

⊙O于C交AD延长线于F，图中四个三角形：①ΔACF；②ΔABC；③ΔABD；④ΔBEC，

其中与ΔCDF一定相似的是（ ）．

A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 答案:D； A D

B m D O · O B A F F C C

图15-38 图15-37

6、如图15-39，已知⊙O1与⊙O2外切于点A，⊙O1的弦BC的延长线切⊙2于点D，BA交⊙O2于点E．求证：?CAD=?DAE．

提示：过A作两圆的公切线AF交BD于F，∵AF、BD都是⊙O的切线，

∴∠FAC=∠B，∠FDA=∠FAD．∵E A · O· 1

O∠DAE=∠FDA＋∠B，∠CAD=∠FAC＋2

∠FAD， B D C ∴?CAD=?DAE． 图15-39

7、如图15-40，CA、CD分别切⊙O于A、D，AB是⊙O的直径，DE⊥AB，垂足为E，DE交BC于点G，求证：

A C EG=DG．

提示：过B作⊙O的切线交直线CD于F， 由

EGBEDFBFDGDG, ?????ACABCFCFCDCA· O

D G E

1

可得EG=DG．

B

图15-40

8、如图15-41，AB是⊙O的直径，AB=2R，直线l和⊙O相切于点B，D是圆上的一个动点（不与A、B重合），过点D的⊙O的切线

交l于点C，连结AD、OC，则不论点D在圆上如何移动，总有AD∥OC，且AD·OC=2R2，你能说出理由吗？

C

提示：连结BD?∵CD、CB是圆的切线，∴CD=CB，CO平分?BCD．∴CO⊥BD． D ∵AB是⊙O的直径，∴?ADB=90?．∴AD⊥BD，∴AD∥OC．

A B O ∵CB与⊙O切于B，∴CB⊥OB． ∵AD∥OC，

∴?DAB=?COB． l ∴RtΔADB∽RtΔOBC．∴

AD·OC=AB·OB=2R2．

9、已知：如图15-42，D为ΔABC外接圆的BC的中点，点I在DA

上，且DI=DB，AD与

BC相交于E?求证：（1）ID是AD和DE的比例中项；（2）I为Δ

ABC的内心?

提示：（1）∵D是BC的中点， ∴BD=DC．∴?DBE=?DAB． ∵?D是ΔDBE和ΔDAB的公共角，∴ΔDBE∽ΔDAB． ∴DB?DA=DE?DB． ∴DB2=AD·DE． A 2

∵DI=DB， ∴DI=AD·DE． 即：I D是AD和DE的比例中项． · · I

C （2）连结BI． E B ∵DI=DB， ∴?DBI=?DIB．

D

∵ΔDBE∽ΔDAB， ∴?DBE=?DAB． 图15-42 ∵?DBI=?DBE+?IBE，?DIB=?DAB+?IBA， ∴?IBE=?IBA．

∵D是BC的中点， ∴?BAD=?CAD． 即IA平分?BAC．∴I为ΔABC的内心．

10、如图15-43，已知BC为⊙O的一条弦，它所对的劣弧CB的度

ADAB．∴?OBOC图15-41

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