几何证明选讲教学设计（5讲共15课时）

几何证明选讲教学设计

考试要求

1、了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理；

2、理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推论；

3、掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形的性质定理与判定定理． 教材分析

这是新课程选修课程的一个新的内容，本专题的内容包括相似三角形的进一步认识、圆的进一步认识．平行线等分线段定理是在“一组平行线”只取三条这种最简单的情况下证明的，证明的方法是借助梯形常用的辅助线把梯形分成平行四边形和三角形，用平行四边形和三角形的知识进行证明．平行截割定理是平行线等分线段定理的一般情形，是研究相似形最重要和最基本的理论，其证明体现了化归的思想，把它应用在三角形上就得到了定理的一个重要推论，这个推论是判定三角形相似的理论基础．圆周角的概念、圆周角定理及其推论在推理论证和计算中应用比较广泛，将圆周角的一边绕顶点旋转到与圆相切时，就得到弦切角，圆周角定理和弦切角定理的证明都体现了分类讨论的思想，体现了从特殊到一般的思维过程．相交弦定理、割线定理、切割线定理合称“圆幂定理”，在有关的计算和证明中起着重要的作用．

本讲的内容在初中已经通过观察、实验和操作的方法初步了解，这里不仅是对初中知识的深化，更侧重于逻辑推理与抽象思维．在几何证明的过程中，不仅包含了逻辑演绎的程序，还包含着大量的观察、探索、发现的创造性过程，因此本章是考查推理能力和逻辑思维能力的好资料，在平时的训练中要熟悉基本图形和基本结论，善于归纳总结，提高运用几何方法解决问题的能力．

第一讲 平行线等分线段定理和平行截割定理

教学目标

知识与技能：复习相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理. 过程与方法：以“平行线分线段成比例定理”为起点，给出相似三角形定义后，逐步讨论相似三角形的判定定理、性质定理等等。 情感态度价值观：基本数学思想是比例及其性质的应用，通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点

平行线分线段成比例定理. 教学难点

相似三角形的判定定理、性质定理等等。 课

一．基础知识回顾

1、如图15-1，l1∥l2∥l3，AM=3，BM=5，CM=4.5，EF=16，则DM= ，

EK= ，FK= ． 答案:DM=7.5，EK=6，FK=10；

2、如图，ΔABC中，点D为BC中点，点E在CA上，且CE=EA，AD，BE交于点F，则AF:FD= ． 答案:AF:FD=4:1；

3、一个等腰梯形的周长是80cm，如果它的中位线长与腰长相等，它的高是12cm，则这个梯形的面积为 cm2． 答案:240；

4、如图15-3，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距墙80cm，梯上点D距墙70cm，BD长55cm，则梯子的长为 cm． A A A E l1 C

M l2

K E F ┐ D D ┐ l3 B D C B B F

图15-2 图15-3 图15-1

12时 3课时

答案:440．

二．典型例题讲解

例1．如图15-4，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，E是AB边的中点，连结ED、EC，求证：ED=EC．

分析：要证明ED=EC，只要设法证明E在线段CD的垂直平分线

A D 上．

证明：过E点作EF∥BC交DC于F点．

E ∵在梯形ABCD中，AD∥BC， F

∴AD∥EF∥BC． ∵E是AB的中点， B C

图15-4 ∴F是DC的中点．

∵∠ADC=90°，∴∠DFE=90°． ∴EF⊥DC，

∴EF是DC的垂直平分线． ∴ED=EC．

评析：根据平行线等分线段定理可以得到，在梯形中，若已知一腰的中点，那么过这点作底边的平行线即可得到另一腰的中点，本题正是利用这一结论再结合线段垂直平分线的性质得证的．平行截割定理的应用很广泛，它体现了从简单到复杂、从特殊到一般的数学思想，是研究相似形最重要、最基本的理论．

例2．如图15-5，在ΔABC中，作直线DN平行于中线AM，设这条直线交边AB与点D，交边CA的延长线于点E，交边BC于点N．

E 求证：AD∶AB=AE∶AC．

分析：要证明AD∶AB=AE∶AC，必须找到与 A AD∶AB和AE∶AC都相等的第三个量．

证明：∵AM∥EN， D ∴AD∶AB=NM∶MB，NM∶MC=AE∶AC． ∵MB=MC，

∴AD∶AB=AE∶AC． B N M

图15-5 评析：本题的理论依据是平行于三角形一边的

直线截其他两边，截得的三角形与原三角形的对应边成比例．由于直接证明相对较困难，所以利用了中间比进行等量代换，这种方法在有关比例式的证明中经常使用．

例3．在梯形ABCD中，点E、F分别在腰AB、CD上，EF∥AD，

C

AE∶EB=m∶n．

求证：（m＋n）EF=mBC＋nAD．你能由此推导出梯形的中位线公式吗？

分析：要证明（m＋n）EF=mBC＋nAD，只要证明EF=

mnBC?AD， m?nm?n 又EF与AD、BC都平行，因此比较容易联想到平行截割定理．

证明：【方法一】如图（1），连结AC，交EF于点G． ∵AD∥EF∥BC，

DFAEm ∴??．

FCEBnAEmCFn ∴，． ??ABm?nCDm?nB C

E A

G （1）

F D

∵EG∥BC，FG∥AD， ∴

EGAEmGFCFn，． ????BCABm?nADCDm?nmnB ∴EG=BC，GF=AD， m?nm?nmn ∴EF=EG＋GF=BC＋AD，

H m?nm?nE C F D

∴（m＋n）EF=mBC＋nAD．

A m=n=1G （ 当EF为中位线时，AE∶EB=1∶1，即，2 ） 得2EF=BC＋AD，即EF=（BC＋AD）．

12【方法二】如图（2），过点B作BG∥CD，交EF于点H，

交AD于G．

∵AD∥EF∥BC，BG∥CD， ∴BC=HF=GD．

BEn?， AEmEHBEnn ∴，EH=??AG．

AGABm?nm?nn ∴EF=EH＋HF=AG＋HF．

m?n ∵EH∥AG，

∴（m＋n）EF=nAG＋（m＋n）HF=nAG＋mBC＋nGD=mBC

＋nAD．

评析：这个结果称为线性插值公式．当点E、F在AB、DC的延长线上（或BA、CD延长线上）时，由于AE与EB的方向相反，可以把m∶n理解为负值，在此理解下，此公式仍然成立．证明可仿上

C 面的证明给出．

┐ A

O └ B

三．精选试题演练

1、如图15-6，已知：AC⊥AB，BD⊥AB，AO=78cm， BO=42cm，CD=159cm，则CO= cm， DO= cm． 答案:103.35，55.65；

A 2、已知，如图15-7，AA′∥EE′，AB=BC=CD=DE， A′B′

C′D′′

A′B′=B′C′=C′D′=D′E′，若AA′=28mm，EE′=36mm， 则BB′= ，CC′= ，DD′= D ． B C EE 答案:30mm，32mm，34mm；

图15-7

3、如图15-8，BC∥B′C′，AC∥A′C′．求证：AB∥A′B′．如果BC=2B′C′，

那么AB是A′B′的多少倍？

提示：∵BC∥B′C′，∴

OBOCBC???2．∵AC∥A′C′，∴OB?OC?B?C?OAOC． ???OAOCOAOB∴??2，∴AB∥A′B′，AB=2 OA?OB?B A C′

O A′

图15-8

C

B′

A′B′．

4、如图15-9，EF∥BC，FD∥AB，AE=1.8cm,BE=1.2cm,CD=1.4cm．求BD．

答案:2.1cm． 提示：∵EF∥BC，∴AB，∴

AFAE3??．∵DF∥CFBE2B

E A F D 图15-9

C

BDAF3??， DCCF23即BD=DC=2.1cm．

2

5、如图15-10，过梯形ABCD的对角线交点O作直线EF平行于底，分别交两腰AD、BC于点E、F，求证：

112． ??ABCDEFE D C F

A O B 图15-10

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