《理论力学》第一章基本概念及基本原理

第一章 基本概念及基本原理

[习题1-1] 支座受力F,已知F?10kN,方向如图所示, 求力沿x,y轴及沿x',y'轴分解的结果,并求力F在各轴上的投影.

解:

(1)F沿x,y轴分解的结果

把F沿x,y轴分解成两个分力,如图所示. Fx?Fcos30i?10?0.866i?8.66i(kN) Fy?Fsin30j?10?0.5j?5j(kN) (2)F沿x',y'轴分解的结果

把F沿x',y'轴分解成两个分力,如图所示. 由图可知,力三角形是等腰三角形.故:

750075?0????0???Fx300FFy

力沿x,y轴的分解图

Fx'FFx'?Fi?10i(kN)

Fy'??2?10cos75j??5.18j (kN) (3) F在x,y轴上的投影

?0?'?'??'?'

’’

力沿x,y轴的分解图

Fy'x'Fx?Fcos300?10?0.866?8.66(kN)

Fy?Fsin30?10?0.5?5(kN) (4) F在x,y轴上的投影

Fx'?Fcos30?10?0.866?8.66(kN)

0''0y'Fx'300750FFy'

力沿x,y轴的投影图

’

’

Fy'??Fcos75??10cos75??2.59(kN)

00[习题1-2] 已知F1?100N,F2?50N,F3?60NF4?80N,各力方向如图所示,试分别求各力在x轴y轴上的投影. 解:

F1x?F1cos300?100?0.866?86.6(N)

F1y?F1sin30?100?0.5?50(N)

0F2x?F2cos?2?50?3?30(N) 5 F2y??F2sin?2??50?4??40(N) 54F23yF1300F3x?F3cos?3?60?0?0

F3y?F3sin?3?60?1?60(N)

x F3F4题1-2图

1350F4x?F4cos?4?80cos135??56.57(N)0

F4y?F4sin?4?80sin1350?56.57(N)

[习题1-3] 计算图中F1,F2,F3三个力分别在x,y,z轴上的投影.已知F1?2kN,F2?1kN , F3?3kN. 解:

3??2?0.6??1.2(kN) 54 F1y?F1??2?0.8?1.6(kN)

5F1x??F1? F1z?0

F2x?F2sin?2cos?2?1?sin45? F2y3?0.424(kN) 54?F2sin?2sin?2?1?sin450??0.566(kN)

50F2z?F2cos?2?1?cos450?0.707(kN)

F3x?0

F3y?0

F3z?F3?3(kN)

[习题1-4] 已知FT?10kN,求FT分别在x,y,z轴上的投影. 解:

FTxy?FTsin??10?52?325?3?5222?7.591(kN) z353FTx?FTxycos??7.591?552?32FT?6.51(kN)

6x2yFTy?FTxysin??7.591?35?3522?3.91(kN)

FTz??FTcos???10?5?3?5222??6.51(kN)

[习题1-5] 力F沿正六面体的对角线AB作用,F?100kN,求F在ON上的投影. 解: zB

200mmC

N F200mmD400mm

O y300mm xA400mm

如图所示,F在AC线上的投影为:

FAC?FOB?FcosCAB?100?tanNOD?200?0.5 4004002?4002400?300?400222?88.345(kN)

NOD?arctan0.5?26.570 BON?450?26.570?18.430

F在ON线上的投影为:

FON?FOBcosBON?88.345cos18.430?83.811(kN)

[习题1-6] 已知F?10N,其作用线通过A(4,2,0),B(1,4,3)两点,如图所示.试求力F在沿CB的T轴上的投影. 解: TAD?(4?1)?(2?4)?13?3.61

22zB(1,4,3)AB?3.612?32?13?4.69 DG?3.612?32?2

F在AD上的投影为:

EyFD(1,4,0)OCGxA(4,2,0)3.61?7.697(N) 4.693Fz?FsinBAD?10??6.40(N)

4.692Fy?FADcosADG?7.697??4.264(N)

3.613Fx?FADsinADG?7.697??6.396(N)

3.61FAD?FcosBAD?10?F在T轴上的投影为:

FT?FycosBCD?FzcosECB?4.264?43?6.40??7.251(kN) 55[习题1-7] 图中圆轮在力F和矩为M的力偶作用下保持平衡,这是否说明一个力可与一个力

偶平衡? 解:

F图中圆轮在力F和矩为M的力偶作用下保持平衡,

M这不能说明一个力可与一个力偶平衡.因为轮子的圆心处 有支座,该支座反力R与F构成一力偶,力偶矩M(R,F) 与M等值,共面,反向,故圆轮保持平衡.

[习题1-8] 试求图示的力F对A点之矩,已知r1?0.2m

ORr2?0.5m,F?300N.

MA(F)??Fcos600(r2?r1sin300)?Fsin600?r1cos300

MA(F)??300?0.5(0.5?0.2?0.5)?300?33?0.2???15(N?m) 22r2[习题1-9] 试求图示绳子张力FT对A点及对B点的矩.已知

?r1F?600AFT?10kN,l?2m,R?0.5m,??300.

解:

FTx?FTsin??10sin300?5(kN)

FTy?FTcos??10cos30?8.66(kN) OC?lsin60?2?0.866?1.732(m)

00AC?lcos600?2?0.5?1(m)

MA(FT)?MA(FTx)?MA(FTy)

00 ??5?(1.732?0.5sin30)?8.66?(1?0.5cos30)?5(kN?m)

MB(FT)?MB(FTx)?MB(FTy)

??5?(1.732?0.5sin300)?8.66?(1?0.5cos300)??12.320(kN?m)

[习题1-10] 已矩正六面体的边长为a,b,c,沿AC作用一力F,试求力F对O点的矩矢量表达式. 解:

zCBOFy??xA(a,b,c)iM0(F)?a??jb?kc

Fx式中,

FyFzFx??Fcos??cos???F?a2?b2a?b?ca2?b2a?b?c222222?aa?bba?b

2222??Faa?b?cFba?b?c222222

Fy??Fcos??sin???F????

Fz?Fsin??F?故

ca?b?c?222?Fca?b?c?222M0(F)?Fa2?b2?c2?a?bcia?jbkc??Fa2?b2?c20ia?jb?kc

02c??2cia2?b2?c2aF????2cFj?(bi?aj)

222a?b?cb[习题1-11] 钢绳AB中的张力

FT?10kN.写出该张力FT对O点的矩的矢量表达式.

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