物理竞赛光学辅导

单球面折射成像公式及其应用

安徽省淮北市第一中学（235000） 王化银

【问题】一束平行光沿薄平凸透镜的主光轴入射，经透镜折射后，会聚于透镜后f?48cm处，透镜的折射率n?1.5。若将此透镜的凸面镀银，物置于平面前12cm处，求最后所成像的位置。（第十八届全国中学生物理竞赛预赛试题）

求解这个问题，要用到薄透镜成像公式中像方焦距表达式、凹面镜成像公式以及平面折射成像公式，而这些公式又都可以从单球面折射成像公式推出，所以，可以认为单球面折射成像公式是一个最基本的公式。

一、公式推导

如图1，设其中折射球面的球心为C，球面两侧介质的折射率分别为n1和n2，且n1?n2，我们把通过球面顶点和球心的直线称为此折射球面的主光轴。设P为主光轴上一物点，从P发出的光线PA正入射到球面上，它将无偏折地进入另一介质，并通过球心C。从P点发出的另一光线PB与主光轴成角?（PB为近轴光线，?很小），它以入射角i1射到球面上的B点，以折射角i2折射进入

图1

另一介质，并与主光轴交于P'点。此时我们可将P和P'分别称之为物点和像点，它们到折射面顶点A的距离则分别为物距u和像距v。由于?很小，由图可见i1、

i2和图中所示的?和?都很小，根据折射定律有

sini1n2? sini2n1 1

由于i1和i2都很小，故由近似关系应有sini1?i1、sini2?i2，则上式变为

n1i1?n2i2

又由图中的几何关系可以看到i1????和i2????，代入上式便为

n1??????n2?????

以h表示图中B点到主光轴的距离，R表示球面半径，则由小角的近似关

hhh系可以得到：??，??，??，代入上式并整理可得

Ruvn1n2n2?n1?? uvR上式即为球面折射时的物像距公式，式中各物理量的正、负取值有一定的规则，这一规则是：入射光线从左方射来时，球心在界面的右侧，则R取正值，球心在界面左侧，则R取负值；实物和实像的物距和像距都取正值；虚物和虚像的像距都取负值。

特别地，当R??，即球面变为平面时

v??n2un1

负号表示所成像为虚像，像与物位于界面的同一侧。

我们把像高y'和物高y之比称为放大率，记为K。当物或像在主轴上方时，y或y'为正，反之为负。在图2所示情况下，放大率K为

图2

K?y'??v?R?vsinrvn?????? yu?Rusiniun'2

当放大率为正时，物与像在主轴同侧（正立像）；为负时，物与像在主轴异侧（倒立像）。

【例1】有一种高脚杯，如图所示，杯内底面为一凸起的球面，球心在顶点O下方玻璃中的C点，球面的半径R＝1.50cm，O到杯口平面的距离为8.0cm。在杯脚底中心处P点紧贴一张画片，P点距O点6.3cm。这种酒杯未斟酒时，若在杯口处向杯底方向观看，看不出画片上的景物，但如果斟了酒，再在杯口处向杯底方向观看，将看到画片上的景物。已知玻璃的折射率n1＝1.56，酒的折射率n2＝1.34。试通过分析计算解释这一现象。（第二十一届全国中学生物理竞赛预赛试题）

解：⒈未斟酒时，根据单球面折射成像公式得

n1n0n0?n1?? uvR图3

即

1.5611?1.56?? 6.3v?1.50解得v?7.95cm。

由此可见，未斟酒时，画片上景物成实像在杯口距O点7.95cm处。已知O到杯口平面的距离为8.0cm，当人眼在杯口处向杯底方向观看时，该实像离人眼太近（h?8.0cm?7.95cm?0.05cm），小于正常人眼的近点（晶状体表面弯曲程度最大，也就是晶状体变得最凸时，能看清的最近点）10cm，所以看不到画片上的景物。

⒉斟酒时，根据单球面折射成像公式得

n1n2n2?n1?? uvR即

1.561.341.34?1.56?? 6.3v?1.50解得v??13cm。

由此可见，斟酒后画片上景物成虚像于P'处，距O点13cm，即距杯口

h?13cm?8cm?21cm。虽然该虚像还要因酒液平表面的折射而向杯口处拉近一

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定距离，但仍然离杯口足够远（h'??n01，大于正h???21cm??15.7cm）

n21.34常人眼的近点10cm，所以人眼在杯口处向杯底方向观看时，可以看到画片上的景物的虚像。

二、应用1—薄透镜成像公式

如图4，透镜两球面中心的连线为透镜的主轴，设透镜本身材料的折射率为n2，透镜周围介质的折射率为n1，透镜两球面的半径分别为R1和R2，S为位于

图4

透镜主轴上的一发光点，S''为S通过第一个折射面后所成的像，S'为S通过第二个折射面后所成的像（即S通过此透镜所成的像），如图并以u、v'、v分别表示各对应的物距和像距。由单球面折射成像公式，对于第一个折射面成像有

n1n2n2?n1 ??uv'R1第一个折射面所成的像S''，是第二个折射面成像的虚物，故对于第二个折射面成像，其物距应为－v'，由此有

n2n1n1?n2?? ?v'vR2将以上两式相加，则有

?11?n1n1???n2?n1???? ① uv?R1R2?上式就是薄透镜的成像公式，其中u、v、R1、R2的符号规则与单球面折射成像公式的符号规则相同。

根据上述公式可以看到，若u??，则此时的像点便为此透镜的焦点，对

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应的像距便为此透镜的焦距f。故有

?11?n1??n2?n1???? f?R1R2?∴ f?n1R1R2 ②

n?nR?R?21??2?1以②式代入①式，则有

111?? uvf这就是通常所用的透镜成像公式。

注：若透镜两侧介质的折射率不同，用同样的方法也可以推得相应的薄透镜成像的公式。

薄透镜的放大率等于两个单球面折射成像的放大率之乘积

?v'n1??vn2?v K?K1?K2?????????u?un2??v'n1?当放大率为正时，物与像在主轴同侧（正立像）；为负时，物与像在主轴异侧（倒立像）。

【例2】两个薄透镜L1和L2共轴放置，如图5所示。已知L1的焦距f1＝f , L2的焦距f2＝－f，两透镜间距离也是f。小物体位于物面P上，物距u1＝3f。

⑴小物体经这两个透镜所成的像在L2的 边，到L2的距离为 ，是 像（虚或实）、 像（正或倒），放大率为 倍。

⑵现在把两透镜位置调换，若还要给定的原物体在原像处成像，两透镜作为整体应沿光轴向 边移动距离 。这个新的像是 像（虚或实）、 像（正或倒），放大率为 倍。（第二十届全国中学生物理竞赛预赛试题）

解析：⑴对于L1，由薄透镜成像公式得

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图5

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