数学综合--北京领航考研名师铁军2006年考研数学预测38题(4)

P(X?3)?P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?0.1?0.2?0.3?0.006.

所以，X~??0.5040.3980.0920.006??，

???0123?E(X)?0?0.504?1?0.398?2?0.092?3?0.006?0.6，

D(X)?E(X2)?(EX)2?12?0.398?22?0.092?32?0.006?(0.6)2?0.46

解法二：可以不求X的分布律，引进新的随机变量，利用期望、方差的性质求出期望E(X)、方差D(X)。

现引进新的随机变量Xi定义如下：Xi??33件Ai发生?1,第i个部件需要调整，即事

0，第i个部件不需要调整?因此我们有

?Xi?1i,E(X)??EXi,

i?1而Xi服从(0?1)分布，E(Xi)?P(Xi?1)?P(Ai)， 所以

E(X)??EXi?P(A1)?P(A2)?P(A3)?0.1?0.2?0.3?0.6，

i?13又因为D(Xi)?P(Xi?1)P(Xi?0)?P(Ai)P(Ai)，且Xi之间相互独立， 所以 D(X)??D(X)??P(A)P(A)?P(A)P(A)?P(A)P(A)?P(A)P(A)

iii33112233i?1i?1?0.1?0.9?0.2?0.8?0.3?0.7?0.46.

【评注】本题中解法二比解法一简单得多，这就是引进新的随机变量的好处，但如何引进新的随机变量是一个难点。一般在考研试题中，总是引进Xi服从(0?1)分布，用独立性和

?Xii来简化计算。

【例35】假设一批共100件产品，其中一、二、三等品分别为80，10，10件。现在从中任抽取一件，记

?1,若抽到k等品Xk?? (k?1,2,3)

0,若不然?试求：（1）随机变量X1和X2的联合分布；（2）随机变量X1和X2的相关系数。 【详解】引进事件Ak?{抽到k等品}(k?1,2,3)

由条件，知P(A1)?0.8,P(A2)?0.1,P(A3)?0.1.易见，(X1,X2)有四个可能值：（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）

P{X1?0,X2?0}?P(A3)?0.1,P{X1?0,X2?1}?P(A2)?0.1,P{X1?1,X2?0}?P(A1)?0.8,P{X1?1,X2?1}?P(?)?0.又?P(X1X2?0)?1 ?EX1X2?0

又?EX1?0.8,DX1?0.8?0.2?0.16；EX2?0.1,DX1?0.1?0.9?0.09

16

cov(X1,X2)?EX1X2?EX1EX2??0.08 ???cov(X1,X2)DX1DX2??0.080.160.09??2 3【例36】—生产线上源源不断地生产成箱的零件，假设每箱平均重50千克，标准差为5千克，若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保证不超载的概率大于0.977？（?(2)?0.977）。

【详解】以Xi(i?1,2,?n)表示装运的第i箱产品的实际重量，n为所求箱数。由条件X1,X2,?Xn是独立同分布随机变量（但具体分布未知），因而总重量为T=X1?X2???Xn。

由条件知EXi?50千克,??DXi?5千克. ?ET?50n千克,?T?DXi?5n千克。

又∵随机变量X1,X2,?Xn独立同分布且数学期望和方差都存在，故根据列维一林德伯格中心极限定理，只要n充分大，随机变量T就近似服从正态分布N(50n,25n)。由题意知，所求n应满足条件：

T?50n1000?10n???P?P?T?5000????0.977

n?5n?U?2??0.977， 当n充分大时变量U??T?50n?/n近似服从N（0，1），可见P?从而有

1000?10nn?2 ?n?98. 即最多只能装98箱。

【例37】设总体X为连续型随机变量，概率密度函数为f(x)，从该总体抽取容量为n的简单随机样本

X1,X2,?,Xn。试求在曲线f(x)下方，统计量M?max{Xi}对应的统计值 m?max{xi}的右方的（曲边形）

1?i?n1?i?n面积S的数学期望。

【详解】设f(x)为总体X的分布函数，则S??mf(x)dx?1????f(x)dx?1?F(m) 先求M?max{Xi}的分布函数G（m）的概率密度g(m)。

1?i?n??m?M的分布函数

G(m)?P(M?m)?P(max{Xi}?m)?P?X1?m,X2?m,?Xn?m??Fn(m)1?i?n?P?X1?m)P(X2?m)?P(Xn?m?

?M的概率密度g(m)?G?(m)?Fn(m)?nFn?1(m)f(m)

因此，计算S的数学期望：

??'ES?E(1?F(M))

?1?EF(M) 17

?1??F(m)?g(m)dm????

?1??nFn(x)?g(x)dx?????1??nF(x)f(x)dx????

n?1??nFn(x)dF(x)????令t?F(x)1??0ntndt?1?1n1 ?n?1n?1【例38】已知某种材料的抗压强度X~N(?,?2)，现随机地抽取10个样品进行抗压试验，测得数据如下

522（单位：10Pa）：样本均值x?457.50，样本方差s?35.22.

（1）求平均抗压强度?的矩估计值；

（2）求平均抗压强度?的95%的置信区间； （3）若已知??30，求?的95%的置信区间.

??x?457.50. 【详解】（1）??SS?（2）设总体X～N（?,?2),?2与?均未知，则?的置信水平为1-?的置信区间为?X??,X?????，

nn??其中??t?(n?1),P(t?t?(n?1))?22?2.

性质：t1??2(n?1),?t?(n?1).2S?21n(Xi?X)2. ?n?1i?12由题意知这里是?未知的情况，用s代替?. 而样本标准差s?35.22，1???0.95,??0.05,所以置信区间为 (?,?)?(x??,x??)， 这里

2?2?0.025.

??t?(n?1)?2sn?t0.025(9)?35.2210?2.2622?35.2210?25.20，

所以 (?,?)?(x??,x??)?(432.30,482.70).

（3）若已知??30，则?的置信区间为(?,?)?(x??,x??)， 这里??z??2?n?z0.025?3010?1.96?3010?18.59，

所以 (?,?)?(x??,x??)?(438.91,476.09)。

18

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说教育文库数学综合--北京领航考研名师铁军2006年考研数学预测38题(4)在线全文阅读。