由于直线
?x?y?b?0, l:??x?5y?z?3?0 ③
在平面?上，故满足式②和式③的x,y,z必满足①。实际上，式②加式③得2x?4y?z?b?3?0, 与式①比较，得b?3??5,即b??2.
【例14】设函数
f(t)在?0,???上连续，且满足方程f(t)?e4?t2?2x?y2?4t2???12?f?x?y2?dxdy, 求?2?f(t)。
【详解】计算
x2?y2?4t2??2?2t?122?f?x?y?dxdy??d??00?2?2t?1?f?r?rdr?2??rf0?2??r???dr ?2?因此
22t?r?f(t)?e4?t?2??rf??dr。
0?2?求导，得通解为
f?(t)?8?te4?t2?8?tf(t)，即 f?(t)?8?tf(t)?8?te4?t2.
f(t)?e?8?tdt?4?t2??8?tdt24?t2?8?teedt?C?(4?t?C)e。 ?????在原方程中，令t?0，得【例15】求二重积分
f(0)?1，代入通解中，定出C?1。故所函数数为 f(t)?(4?t2?1)e4?t。
122(x?y)22??y[1?xeD其中D是由直线y?x,y??1及x?1围成的平面区域。 ]dxdy的值，
【详解】作辅助线y??x，则积分区域D可分为区域D1和区域D2，于是D1关于x轴对称，D2关于y轴对称，因此
122(x?y)2xe]dxdy?1?(x2?y2)xye2dxdy，因为D1关于x??y[1?xeD122(x?y)2]dxdy???y[1?D1D2??ydxdy???D2轴对称，被积函数关于y为奇函数，所以
1?(x2?y2)2??y[1?xeD1122(x?y)2]dxdy?0；又因为D2关于y轴对称，被积函数关于
x为奇函数，所以??xyeD2dxdy?0。
1?x12ydy??(x2?1)dx?? .
03于是
??y[1?xeD122(x?y)2]dxdy???ydxdy?2?dx?D20?1【例16】求曲线AB：y?f(x)?0的方程，使曲线y?f(x)与两个坐标轴及过点（x,0）(x?0)的垂直于x轴的直线所围成的曲边梯形，绕x轴旋转所形成的旋转体的形心（即重心）的横坐标等于
6
4x. 5【详解】旋转体的体积V???x0f2(x)dx.
???xdxdydz由已知，
xvV2xx4?x，???xdxdydz??xdx??dydz??x?f2(x)dx
005VDx故有
??0x4xf(x)dx?x??f2(x)dx.
05df(x)3两边对x求导得微分方程 ?dx，因此得f(x)?Cx2（C是任意常数）.
f(x)2x【例17】设函数f(x)在[1,??)上连续。若由曲线y?f(x)，直线x?1,x?t(t?1)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体体积为 V(t)?微分方程满足条件yx?23?3[t2f(t)?f(1)].试求y?f(x)所满足的微分方程，并求该
?2的解。 9【详解】由旋转体体积计算公式得V(t)???t1f2(x)dx,于是，依题意得??f2(x)dx?1t?3[t2f(t)?f(1)].
两边对t求导得 3f2(t)?2tf(t)?t2f'(t). 将上式改写为 x2y'?3y2?2xy，即
dyyy?3()2?2?. dxxx令u?ydu?3u(u?1). ，则有 xdxxu?1du3dx?Cx3. . 两边积分得?uu(u?1)x当u?0,u?1时，由
从而方程
dyyy?3()2?2?的通解为y?x?Cx3y(C为任意常数）。 dxxxx(x?1). 31?x由已知条件，求得C??1,从而所求的解为 y?x??x3y或y???【例18】设f(x)=
?akxk?1k?1在[0，1]上收敛，证明：
?n?1?1f()收敛。 n收敛，所以limak?0，数列?ak?有界，即存
k??【证明】因
?ak?1?kxk?1在[0，1]上收敛，令x=1，得到
?an?1k在 M>0，使ak?M.
7
1于是，f()?n?ak?1?k1?()k?1n1???21111n=M?，故?f()收敛。 ??ak?k?1?M?k?1=M?1n(n?1)nnn?1k?1n?1n1?n?1?x2???1?n?arctanx,x?0,试将f?x?展开成x的幂级数，并求级数?【例19】设f?x???x的和。
2n?11?4n?1,x?0.?【详解】设??x??arctanx. 求导得???x???11?x2?n?0???1??n2nx,x???1,1?
积分得： arctanx?n?02n?1???1?nx2n?1,x?????1,1?.
于是
f?x??1?n?12n?1?????1?nx2n?n?02n?1??1?nx2n?2?1?
n?12n?1?????1?nx2n???1?n2n?12n?1????1?n?1x2n
?1??n?11?4n22nx,x???1,1?.因此
n?11?4n???1?n2?1?1f1?1??. ??????242C【例20】设f(x)具有一阶连续导数，计算曲线积分
222?f'(x)sinydx?[f(x)cosy??x]dy，其中曲线C是
从点A（2，2?）沿圆周(x?1)?(y??)?1??的上半圆周到点B(0, 0).
【详解】因为 AB:??x?x, x从2到0.所以
y??x,?C?f'(x)sinydx?[f(x)cosy??x]dy
CBA?(?f'(x)sinydx?[f(x)cosy??x]dy+?f'(x)sinydx?[f(x)cosy??x]dy) +
AB?f'(x)sinydx?[f(x)cosy??x]dy
=
??(??)dxdy??f'(x)sinydx?[f(x)cosy??x]dy
DAB012?????(1??)?[f'(x)sin?x?(f(x)cos?x??x)??]dx =?2232?4(1??)???xdx??(1??)?2????=?.
0222422222?2?2 8
【例21】
22222，为柱面x?y?1界于z?0与x?y?z?2之间部分的外侧. xdydz?ydxdz?zdxdy????【详解】因为?：x2?y2?1垂直于xoy面，所以
2z??dxdy?0. ?应用高斯公式：补平面?1:z?0(x2?y2?1)取上侧. 补平面?2:z?2?x?y (x2?y2?1)取上侧. 则
??xdydz?ydxdz?z?222dxdy=(????????)???????1?2?1??2??，
其中 I1=
??????1?????=???(2x?2y)dv
?2?=2??dxdy?D2?x?y0(x?y)dz=2??(x?y)(2?x?y)dxdy
D=2[222xdxdy?2ydxdy?2xydxdy?(x?y)dxdy] ????????DDDD2?1?0?2??(x2?y2)dxdy??2?d??r3dr???.
D00I2???x2dydz?y2dxdz?0（因?1垂直与yoz面与zox面）.
?1I3???2??????x2dydz?y2dzdx????(x2?2?22?1cos?cos??y2)dxdy cos?cos?????(x2?y2)dxdy???d??r3dr??D00?2.
所以，
?3?222I?I?I????0?(?)??. =xdyd?zydxd?zzdxdy123??22??A3A*??，则C?_________. 【例22】设A,B均是n阶矩阵，A?a,B?b,C??1?1?O??(B)??2?【详解】直接利用上述公式简化行列式运算。
AC?1?1(B)2而 (B)3A*1?(?1)n?n(B)?13A*.
2On?112?1?2B?1?2nb?1，3A*?3nA*?3nA?3nan?1。
9
AC?1?1(B)于是
223A*21?(?1)n(B)?13A*2O
?(?1)n2nb?1?3nan?1?(?1)n6nan?1b?125x2【例23】设行列式D4?x111x223x3，则D4的展开式中，x4的系数是 ，x3的系数
231?3x是 。
【详解】若行列式中含有变量x，则该行列式展开后成为关于x的多项式，可考查该多项式的次数、零点等问题。利用行列式的性质，将含有变量x的项移到主对角线上。将行列式的第2、3行交换，得
5x5x12xD4??21x21x331（第1行?(?)加到第2列）??351x?1215285x1??3125 3?3x1??02121?3x43含x4，x3的项仅有主对角线上元素乘积项，即?(?1)?(1234)a11a22a33a44??5x?(x?)?x?(?3x)??15x?3x
5所以，x4，x3的系数分别是15，?3。
【例24】已知A、B为3阶矩阵，且满足2A?1B?B?4E，其中E是3阶单位矩阵。
?1?20???（1）证明：矩阵A-2E可逆；（2）若B??120?，求矩阵A .
?002???【详解】（1）?2A?1B?B?4E，∴2B?AB?4A，AB?2B?4A?0，(A?2E)B?4A?8E?8E， 即(A?2E)B?4(A?2E)?8E，(A?2E)(B?4E)?8E. 1∴(A?2E)?1?(B?4E), A?2E可逆.
8（2）又?2A?1B?B?4E，∴2B?A(B?4E)，
?1?1?20???3?20?????A?2B(B?4E)?1?2?120??1?20??002??00?2??????1??1?20???4??1?2?120?????002??8???0?T143?80T?0?0???02??0????1?10? ???1??00?2???2?T【例25】已知向量组?1?(1, 2, ?1, 3),?2?(2, 5, a, 8),?3?(?1, 0, 3, 1)及向量组判?1?(1, a, a2?5, 7)T,?2?(3, 3?a, 3, 11)T,?3?(0, 1, 6, 2)T.若?1可由?1,?2,?3线性表示，断这两个向量组是否等价？并说明理由。
【详解】以向量?1,?2,?3，?1,?2,?3为列构成矩阵A，对A作初等行变换，得
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