离散型随机变量的分布列综合试题整理（带答案）(DOC)(3)

1121C2C3C3?C32?3?3?37， ………………9分 P(X?1)???22C5C410?6201C32C33?33， ………………10分 P(X?3)?22??C5C410?620P(X?2)?1?P(X?0)?P(X?1)?P(X?3)?X的分布列： X P 9. ………………11分 203 3 20………………12分

0 1 201 7 202 9 20E(X)?0?179317?1??2??3??. ………………13分 2020202010

14．为振兴旅游业，某省2009年面向国内发行了总量为2000万张的优惠卡，其中向省外人士发行的是金卡，向省内人士发行的是银卡。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到该省旅游，其中客中有

31是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有持金卡，在省内游432持银卡。 3（1）在该团中随机采访3名游客，求至少有1人持金卡且恰有1人 持银卡的概率； (2 ) 在该团的省外游客中随机采访3名游客，设其中持金卡人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望EX。 .解：（1）由题意知，省外游客有27人，其中9人持有金卡，省内游客有9人，其中6人持有银卡。

记事件B为“采访该团3人中，至少有1人持金卡且恰有1人持银卡，” 记事件A1为“采访该团3人中，1人持金卡,1人持银卡，” 记事件A2为“采访该团3人中，2人持金卡,1人持银卡，”

1111C9C6C21C92C645 则P(B)?P(A1)?P(A2)? ??33238C36C36 所以在该团中随机采访3名游客，至少有1人持金卡且恰有1人持银卡的概率为 …………………………………….6分

（2）X的可能取值为0,1,2,3

312C18C9C18153272 因为P(X?0)?3?， P(X?1)? ?3325C27975C2745。 23813C92C18C97228 P(X?2)?， ?P(X?3)??33325C27C27975 所以X的分布列为

X 0 1 2 3

…10分

故

P 272 975153 32572 32528 975EX?0?2721537228?1??2??3??1 ……………………13分 975325325975

15．张先生家住H小区，他工作在C科技园区，从家开车到公司上班路上有L1，L2两条路线（如图），L1路线上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为

1；L2路线上有B1，2A1 H B1 A2 L1 L2 B2 A3 C B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为

33，． 45（Ⅰ）若走L1路线，求最多遇到1次红灯的概率； ．．

（Ⅱ）若走L2路线，求遇到红灯次数X的数学期望；

（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上

述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由． 解：（Ⅰ）设走L1路线最多遇到1次红灯为A事件，则

11111P(A)=C30?()3?C3??()2?． …

2222……………4分

所以走L1路线，最多遇到1次红灯的概率为

1． 2（Ⅱ）依题意，X的可能取值为0，1，2． ……5分

331P(X=0)=(1?)?(1?)?，

451033339P(X=1)=?(1?)?(1?)??，

454520339P(X=2)=??． ……8分

4520随机变量X的分布列为： 0 1 2 X 199 P 10202019927EX??0??1??2?． ……10分

102020201（Ⅲ）设选择L1路线遇到红灯次数为Y，随机变量Y服从二项分布，YB(3,)，

2所以EY?3?13?． ……12分 22因为EX?EY，所以选择L2路线上班最好． ……14分

16．在某次抽奖活动中，一个口袋里装有5个白球和5个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖。 （Ⅰ）求仅一次摸球中奖的概率；

（Ⅱ）求连续2次摸球，恰有一次不中奖的概率； （Ⅲ）记连续3次摸球中奖的次数为?，求?的分布列。

2C524解：（Ⅰ）设仅一次摸球中奖的概率为P1,则P1=2=……………………3分

C109（Ⅱ）设连续2次摸球（每次摸后放回），恰有一次不中奖的概率为P2，则

1P2=C2(1?P1)P1?40 ………………………………………………7分 81（Ⅲ）?的取值可以是0，1，2，3

125, 72930010012P(??1)=C3=, (1?P)P?117292432408022P(??2)=C3 ==, (1?P)P?11729243643P(??3)=P= 1729P(??0)=(1-P1)3=

所以?的分布列如下表

? P 0 1 2 3 125 729100 24380 24364 729 ………………………………………………………13分

17．在一次考试中共有8道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的.某考生有4道题已选对正确答案，其余题中有两道只能分别判断2个选项是错误的，还有两道题因不理解题意只好乱猜. (Ⅰ) 求该考生8道题全答对的概率；

(Ⅱ) 若评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得5分，不选或选错得0分”，求该考生所得分数的分布列.

解：(Ⅰ)说明另四道题也全答对，相互独立事件同时发生，即：?(Ⅱ)答对题的个数为4，5，6，7，8，其概率分别为：

121111???5分 2446411339???? 2244641133111324P???5??????2?????2?

224422446422811111P???6?? P???7?? P???8??????

6464224464P???4??分布列为：

??5? 20 P 25 30 35 40 9242281 6464646464 ………13分

18．为保护水资源，宣传节约用水，某校4名志愿者准备去附近的甲、乙、丙三家公园进行宣传活动，每名志愿者都可以从三家公园中随机选择一家，且每人的选择相互独立. （Ⅰ）求4人恰好选择了同一家公园的概率；

（Ⅱ）设选择甲公园的志愿者的人数为X，试求X的分布列及期望． 解：（Ⅰ）设“4人恰好选择了同一家公园”为事件A. ………1分

每名志愿者都有3种选择，4名志愿者的选择共有34种等可能的情况 . ……2分

事件A所包含的等可能事件的个数为3， ………3分 所以，P?A??31?. 4327即：4人恰好选择了同一家公园的概率为

1. 27 ……5分

1（Ⅱ）设“一名志愿者选择甲公园”为事件C，则P?C??. …………6分

34人中选择甲公园的人数X可看作4次独立重复试验中事件C发生的次数，因此，随机变量X服从二项分布.

………………8分 X可取的值为0，1，2，3，4.

i1i24?iP?X?i??C4()()， i?0,1,2,3,4.

33X的分布列为: ………………10分

X P 0 1 2 3 4 16 8132 8124 818 811 81.…12分 14X的期望为E?X??4??．

33

.……………………13分

19．某学校高一年级开设了A,B,C,D,E五门选修课．为了培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须参加且只能选修一门课程．假设某班甲、乙、丙三名学生对这五门课程的选择是等可能的．

（Ⅰ）求甲、乙、丙三名学生参加五门选修课的所有选法种数； （Ⅱ）求甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生选修同一门课程的概率；

（Ⅲ）设随机变量X为甲、乙、丙这三名学生参加A课程的人数，求X的分布列与数学期

望．

解：（Ⅰ）甲、乙、丙三名学生每人选择五门选修课的方法数是5种，

故共有5?5?5?125（种）．

3A512（Ⅱ）三名学生选择三门不同选修课程的概率为：3?．

525 ∴三名学生中至少有两人选修同一门课程的概率为：1?（Ⅲ）由题意：X?0,1,2,3．

1213?． 25251C3?42484364P(X?0)?3??； P(X?1)?； 3512551253C32?412C31P(X?2)?3?； P(X?3)?3?．

51255125?的分布列为

数学期望EX?0?X P 0 1 2 3 64 12548 12512 1251 12564481213?1??2??3?=．--------------- 13分 1251251251255

20．某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考

核合格就不必参加以后的考核，否则还需参加下次考核，若小张参加每次考核合格的概

11的等差数列，他参加第一次考核合格的概率超过，且他直829到参加第二次考核才合格的概率为

32率依次组成一个公差为

（I）求小张第一次参加考核就合格的概率P1；

（Ⅱ）求小张参加考核的次数?和分布列和数学期望值E?. 解：（I）由题意得(1?p1)(p1?)?189, 3215或. 4815?p1?,?p1?. …………4分

28?p1? （II）由（I）知小张4次考核每次合格的概率依次为

53759,,,1，所以P(??1)?,P(??2)?, 84883253721P(??3)??(1?)(1?)??,848256

5373P(??4)?(1?)(1?)(1?)?1?,848256所以?的分布列为

? P 1 2 3 4 59213 83225625659213379?E??1??2??3??4??.…………12分

832256256256

21．已知５条桥梁横跨A、Ｂ两岸，假设各条桥梁的车流量分别为１、１、２、２、３（单

位：万量），现从这５条桥梁中任取三条桥梁，考察这三条桥梁的车流量之和?． （１）求??4的概率；（２）求?的数学期望． 解：（１）由等可能事件得P(??4)?21．……………………………………… 5分 ?3C55（２）由已知得??4,5,6,7,8,9．分布列如下：

? P ４ ５ ６ ７ 1 527． …………… 53 104 101 10……………………………………………………………………………………………10分 故E??

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