概率统计复习(2)

由第二台加工的占1/3，从这批零件中任取一件。 求： （1）取到合格品的概率。

（2）取到的合格品是由第二台车床加工的概率。

解：设Ai=“零件是第i台车床加工的”，i?1,2;B=“取到的是合格品”，则

(1)P?B??P?A1B??P?A2B??P?A1?P?B|A1??P?A2?P?B|A2??(2)P?A2|B??P?A2??P?B|A2?=49/146-

P?B?21292?0.97??0.98? 33300

9、已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人

（1）此人是色盲患者的概率；

（2）若此人恰好是色盲患者，问此人是男性的概率？ 解：A?“挑选1人为男子”

B?“挑选一人为色盲患者”

11则：1）P?B??P?A?P?BA??PAPBA??0.05??0.0025?0.02625

22????1P?A?P?BA?2?0.05 2）P?AB????0.95238

P?B?0.0262510、设X的分布律为 X P -1 1 2 13 12 16 (1)求X的分布函数； (2)求??0?X?2?及??〈0X〈2? 解：(1)由F(x)?P?X?x? ，

0,x??1??1,?1?x?1?3? 所以有：F(x)??115-

??,1?x?2?326?111x?2????1,?326(2)

P?0?X?2??P?0?X?2??P?X?2??211?? 362P?0?X?2??F(2)?F(0)?1?12? 336

11、设随机变量X的分布律为 X -2 Pk 1/5

-1 1/6 0 1/5 1 1/15 3 c （1)求确定常数c；（2）求Y?X2的分布律；（3）求Y?X2的分布函数。

11解：1）由1，得 c?11 5?6?15?c?1302)Y?X2的分布律为

Y 0 1 4 9 Pk 1/5 7/30 1/5 11/30

?0,y?0?1,0?y?1?5?3)Y的分布函数为F(y)??13 30,1?y?4?19,4?y?9?30??1,y?912、某校抽样调查结果表明，考生的概率论与数理统计成绩X近似地服从正态分布N(?,?2)，平均成绩??72分，96分 以上的占考生总数的2.3％，求考生的概率统计成绩在60分至84分之间的概率。

?96?72?解: X~N(72,?2)，P(X?96)?1?P(X?96)?1?????2.3%，

????24?????0.977， ???查表得

24?所求概率为:

?2，??12．

?84?72??60?72?P(60?X?84)??????????(1)??(?1)?2?(1)?1?0.682

?12??12?13、离散型随机变量X的分布律为：

0 1 11 6122 1 37

3 1 124 2 95 1 9

求:：(1).Y?2X?1的分布律；(2)Z?(X?2)2分布律。 解：

X P Y=2X+1 Z=(X?2)2 故有 Y P 0 1 121 4 1 1 63 1 2 1 35 0 3 1 127 1 4 2 99 4 5 1 911 9 1 3 5 111 6312 Z 0 1 11P 347 1 124 11 369 2 99 1 911 1 9

14、设随机变量X的分布律为：

X 0 数

P 1 41 A 2 1 4求：（1）A；（2）X的分布函

F(x)；（3）D(X)。

解：(１）??pk?1，?k111?A??1,?A? 442

0?1?x?0?40?x?1?113（２）F(x)?P(X?x)?? ,??1?x?2?424?111x?2????1?424111?1??2??1 4241113 E(X2)?02??12??2?2?

424231 D(X)?E(X2)?[E(X)]2??12?

22

（3）E(X)?0?h,S?20h．如15、为了解灯泡使用时数的均值?及标准差?，测量10个灯泡，得x?15008

果已知灯泡的使用时数服从正态分布，求?和?的95%的置信区间．

解:(1)这是一个未知方差求?的置信度为0.95的置信区间的问题．由已知

n=10,x?1500,S?20.查表得t因此，?的95%置信区间为

???x?t1??(n?1)?S/n,x?t1??(n?1)?S/n?22?? ?2020???1500?2.262?,1500?2.262?.69,1514.31????14851010??(2)这是一个求?的置信度为0.95的置信区间的问题．查表得

22222?2.700，．的95%置信区间为 ??(n?1)??0(9)??(n?1)??(9)?19.023.025?0.97521?21??2(n?1)?t0.975(9)?2.262．

??22(n?1)S??9?2029?202??(n?1)S.33]． ??2(n?1),?2(n?1)???19.023,2.700??[189.24,1333???1????2?2?开方后得到?的置信区间为［13.8，36.5］。

16、已知某种木材横纹抗压力的实验值X~N(?,?2)，对10个试件做横纹抗压力的试验数据如下：482,493,457,471,510,446,435,418,394,496(单位：公斤/平方厘米)，试以95%的可靠性估计该木材的平均横纹抗压力:(1)?2未知； (2) ?2?302。

解：①样本平均数

1x?(482?493?457?471?510?446?435?418?394?496)?457.5

10标准差s?1n(xi?x)2??n?1i?11?11162.5?35.22 9由于所给置信度1???0.95，查表t1??2(n?1)?t0.975(9)?2.2622

即以95%的可靠性估计该木材的平均横纹抗压力的置信区间为

??s?35.22???，即?X?t(n?1)?457.5?2.2622?1??2????，

n?10???故置信区间为(432.30,482.70)． ②若??30，u1??2?u0.975?1.96，

9

???以95%的可靠性估计该木材的平均横纹抗压力的置信区间为?X?u?1??2??，

n???30?即??457.5?1.96???，故置信区间为(438.91,476.09)。

10??17、已知总体X~N(?,82)，抽取n=100的简单随机样本．现确定的估计区间为(43.88,46.52),

试问这个估计区间的置信度是多少？ 解：对?已知的正态总体，?的估计区间，形式为

?????2?，区间长度为，这里区间长度为?X??,X???1??21??21??2??nnn??46.52-43.88=2.64,由于?=8,n?10。

?81.32,u1??2??1.65，反查表1??0.95，??0.10，

2100.81???0.90，所以估计区间的置信度是0.90。

18、某厂生产的瓶装运动饮料的体积假定服从正态分布，抽取10瓶，测得体积（毫升）为

595,602,610,585,618,615,605,620,600,606。求出方差的置信度为0.90的置信区间。

所以1.32?u1??2?解：1???0.90，??0.10,1?2?2?0.975，n?10,S2?116.71,

2222,??(n?1)??0查表得?12??(n?1)??0.95(9)?16.919.05(9)?3.325

所以方差的置信度为0.90的置信区间为(62.08,315.91)。

19、设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位学生的成绩，算得平均成

绩为66.5，标准差为15分。问在显著水平??0.05下，是否可以认为这次全体考生的平均成绩为70分？ 解：设该次考试考生的成绩为X，则X服从正态分布N?,?2分布，?,?2均为未知参数：

对

????0.05,n?36,检验假设

H0:??70,H1:??70X?70～t?n?1? Sn选统计量 T? 拒绝域：t?t?2?n?1?，

66.5?70?36??1.4 15由n?36,x?66.5,s2?15,计算得t?10

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