角谷猜想的证明 申喜廷 Microsoft Word 文档

本论文刊载于国家级期刊《中国科教创新导刊》2013年1月21日第3期总第659期

角谷猜想的证明

申喜廷

山西 左权 E-meil:xtshen2010@126.com

摘要 用数学归纳法证明. 先经验证，对奇数 1, 3，5，7 的角谷猜想皆成立；再假设奇数2n?1当

n?n1时奇数2n?1?2n1?1的角谷猜想成立；那么当n?n1?1时,奇数2n?1?2n1?1经“?3?1除

”运算后，得到的互为“或”关系的奇数类包括在奇数2n1?1经“?3?1除2m”运算后2m（m?0）

得到的互为“或\关系的奇数类6n2k?1?5和6n2k?1中, 故对奇数2n1?1的角谷猜想也成立. 从而证明了角谷猜想.

关键词 奇数2n?1，偶数2n，角谷运算；“?3?1除2k”一个步骤运算.

引言 角谷猜想即人们简称的“3x?1”问题：将任一奇数x，“?3?1”（即3x?1）后，除以一个适当的偶数2m(m?0)，使

3x?1 等于一个奇数. 不断重复这样的运算，经有限步骤后一定可以得2m到1. 这个问题在20世50年代被提出，在西方称为西拉古斯(syracuse)猜想, 在东方用于1960年将这个问题带到日本的日本学者角谷静夫的名字命名为角谷猜想. 对此问题人们曾写过多篇论文未能证明之.

证: 证明中，将奇数2n1?1中的n1分为奇、偶数来分别运算. 将“经有限步骤后一定可以得到1”的运算称作角谷运算，将“奇数?3?1 除2m”称作一个步骤运算. 证明分为三步：

第一步，设奇数2n?1(n?1)，当n分别等于1，2，3，4时，奇数2n?1分别等于1, 3, 5, 7. 经验证对奇数1, 3, 5, 7的角谷猜想皆成立，即奇数1, 3, 5, 7经角谷运算后皆能得到1，即: 奇数1：

3?3?17?3?11?3?15?3?15?3?1?5357; 奇数：, ; 奇数：; 奇数：?11, ?1?1?12222242411?3?117?3?113?3?15?3?1, , ?17, ?13?5?1. 2342222第二步，在验证了奇数1, 3, 5, 7的角谷猜想皆成立后，假设当n?n1时奇数2n?1?2n1?1的角谷猜想成立，即奇数2n1?1经角谷运算后可得到1.

将2n1?1“?3?1除2”后得到的奇数为

- 1 -

3（ 2n1?1）?1?3n1?1：

2当n1为偶数2n2时，3n1?1?3(2n2)?1?6n2?1; 当n1为奇数2n2?1 时，

3n1?13 (2n2?1)?1??3n2?2； 22当n2为奇数2n3?1时，3n2?2?3(2n3?1)?2?6n3?5； 当n2为偶数2n3时，

3n2?23(2n3)?2??3n3?1; 22当n3?2n4时，3n3?1?3 (2n4)?1?6n4?1; 当n3?2n4?1时，

3n3?13(2n4?1)?1??3n4?2; 22当n4?2n5?1时，3n4?2?3(2n5?1)?2?6n5?5; 当n4?2n5时，

3n4?23(2n5)?2??3n5?1; 223n2k?1?13(2n2k?1)?1??3n2k?2； 22????????????????????； 当n2k?1为奇数2n2k?1时，

当n2k?1为偶数2n2k时，3n2k?1?1?3 (2n2k)?1?6n2k?1;

当n2k为奇数2n2k?1?1时，3n2k?2?3(2n2k?1?1)?2?6n2k?1?5； 当n2k为偶数2n2k?1时，

3n2k?2（32n2k?1）?2??3n2k?1?1； 22?????????????????????????

将上面的运算简化为下面图示1:

- 2 -

2n1?1

?3?1 除2

3n1?1 3n2n2?2n3?1 ?2 n1?2n2?1 n2?2n3 n1?2n2 6n2?1

6n3?56n5?5n4?2n5?1 3n4?2n3?2n4?1 3n3?1 n3?2n4 n4?2n5 6n4?1

6n7?5n6?2n7?1 3n6?2n5?2n6?1 3n5?1 n5?2n6 n6?2n7 ┇ ┇

6n6?1

3n2k?1?1 n2k?2n2k?1?1 3n2k?2n2k?1?2n2k?1 n2k?2n2k?1 n2k?1?2n2k 6n2k?1

6n2k?1?56n2k?3?5

n2k?2?2n2k?3?1 3n2k?2?2n2k?1?2n2k?2?1 3n2k?1?1 n2k?1?2n2k?2 n2k?2?2n2k?3 ┇ 6n2k?2?1

图示1

显见，奇数2n1?1第一步骤运算后得到的奇数是图1左边的6n3?5或6n5?5，?，它们的集合{6n3?5，6n5?5，?}∈{6n2k?1?5}; 和图示1右边的6n2?1或6n4?1,?；它们的集合{6n2?1，

6n4?1, ?}∈{6n2k?1}；因假设了奇数2n1?1(n?1) 经角谷运算后可得到1. 所以奇数2n1?1经

第一步骤运算后得到的这些互为“或”关系的奇数，经角古运算后皆可得到1；（若不能“得到1”，则是与“假设”相矛盾.）

第三步，证明当n?n1?1时,奇数2n?1?2（n1?1）?1?2n1?1的角谷猜想亦成立. 用图示1的方法将奇数2n1?1的第一步骤运算简化为下面图示2:

- 3 -

2n1?1

?3?1 除2

3n1?2 3n2n2?2n3 ?1n1?2n2 n1?2n2?1 6n3?1n2?2n3?1 n3?2n4?1 6n2?1

3n3?1 6n5?5n4?2n5?1 3n4?2n3?2n4 n4?2n5 6n4?1

6n7?5n6?2n7?1 3n6?2n5?2n6?1 3n5?1 n5?2n6 n6?2n7 ┇ ┇

6n6?1

3n2k?1?1 n2k?2?2n2k?3?1 3n2k?2?2n2k?1?2n2k?2?1 n2k?2?2n2k?3 n2k?1?2n2k?2 6n2k?2?1

6n2k?3?56n2k?5?5n2k?4?2n2k?5?1 3n2k?4?2n2k?3?2n2k?4?1 3n2k?3?1 n2k?3?2n2k?4 n2k?4?2n2k?5 ┇ 6n2k?4?1

图示2

比较图示1和图示2两边的奇数. 两图示右边的奇数都是6n2?1或6n4?1, ?， 它们的集合{6n2?1, 6n4?1，?}∈{6n2k?1}; 左边的奇数: 图示2为 6n3?1 或 6n5?5,或 6n7?5,?，或

6n2k?3?5，?，其中 6n3?1?6(n3?1)?5?6n2k?1?5, 那么图示2左边奇数的集合{6n3?1，6n5?5，6n7?5，?}∈{6n2k?1?5}, 即图示2 左右两边的所有奇数皆包括在图示1左右两边的奇数中，所以

图示2 左右两边的所有奇数经角谷运算后一定可得到1. 故对奇数2n1?1的角谷猜想也成立.

角谷猜想得到证明.

【证毕】

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