数学建模案例(2)

供应节点亚历山大中转结点需求结点福尔丘奇费尔法克斯查维切斯乔治城弧的上方是单位运费弧下方是弧上流量的上限班切斯塔

案例9 指派模型（博斯坦电子设备公司）

Ballston电子设备公司专门生产小型电子设备。公司购买了一处旧仓库并将其改造为公司主要的生产工厂。旧建筑的构造和空间没有留给公司的厂房设计部门多少余地来重新设计公司的五条组装线和五个产品检验及库存区域的位置。但是最终，在现有建筑里，这些区域都在固定的位置内建好。

下面是简化的博斯坦的生产流程。不同产品在各个装配线上同时生产。当产品在装配线上完成后，它们暂时被储存在组装线末端的一个容器（中等大小的储物箱）中。每30分钟，容器被送至厂房内五个检验区中的一个。通过检验的产品储存在检验区后部，未通过检验的产品则被放入检验站的回收容器中。

由于不同的装配线上生产的产品数量不同，同时，从各装配线到检验区的距离也不同，将不同产品在装配线和检验区之间传送所用的时间也不同。企业必须为每个装配线指定各自的检验区。

公司的一名工程师进行的调研得出了完工产品从装配线到各检验区的传送时间（见表）。

目前公司的实际操作是将组装线1、2、3、4和5上完成的产品分别运至检验区A、B、C、D和E。这种1-A、2-B、3-C、4-D、5-E的安排每隔半个小时就需要10＋7＋12＋17＋19＝65人分钟来运送产品。由于Ballston的平均人工成本为每小时12美元，因此Ballston每半小时就要付出（12美元）（65/60）＝13美元的运送费用。

Ballston实行两班倒的工作制度，每班工作8小时，每年工作250天，所以每年的生产时间为（250）（16）＝4000小时，也就是有（4000）（2）＝8000个半小时的生产时段。因此，全年从装配线到检验区的运送成本为（13美元）（8000）＝104,000美元。

Ballston迫切需要降低成本。一个可能的降低成本的方法就是重新设计上述流程以提高效率。管理层希望知道是否可以重新为每条生产线分配检验区，以减少总运送时间。如果存在这样更优的分配方案，管理层还想了解每年能够节约多少成本。

从装配线到检验区所耗用的时间（分钟）

1 2 装配线 3 4 5 A 10 11 13 14 19 B 4 7 8 16 11 检验区

C 6 7 12 13 17 D 10 9 14 17 20 E 12 14 15 17 19 装配线1检验区A2B3C4D5E

博斯坦电子设备公司的分配网络

案例10 最大流网络（联合化学公司）

联合化学公司是一家小型的杀虫剂生产企业。其中的一处生产工厂拥有一个可以储存100,000加仑化学药剂的巨型储藏罐，该药剂可用来生产多种农用杀虫剂。储藏罐定时补充药剂以使储存量保持在80,000到90,000加仑之间。化学药剂稳定的通过一系列管道输送到各个生产区域，在生产区域将药剂与其它配料混合从而得到最终的产品。

下图中，储藏罐为结点1，生产区域为结点2、3、4、5和6。结点7为废料处理区域，在那里废料被装入一个大型的“安全罐”内。然后这些废料将会被回收，并进入一系列符合规定的处理程序。

421生产区域3567储藏罐安全罐

生产过程中，药剂的流速相对较低，通常不会达到管道的流量上限。但是，作为公司应急计划的一部分，公司安全部门必须能够在紧急状况出现时，将储藏罐中药剂全部放入安全罐。在这样的紧急状况下，操作人员必须正确的关闭生产区域的阀门，以控制药剂流动，从而使装有有毒药剂的储藏罐可以在最短时间内放空。

下表给出了各个管道的流量上限，以千加仑/每分钟来表示。

1 2 3 从 4 5 6 7 1 2 10 1 3 10 1 4 流向 4 8 3 5 12 2 6 6 4 3 2 7 7 8 2 案例11 旅行商模型（联邦应急管理处）

联邦应急管理处（FEMA）对最近在南加州发生的地震做出反应，并在接近震中地表位置的诺斯里奇建立了总部。总部负责人的职责之一就是巡视其他四个位于该地的办公室然后回到诺斯里奇的总部并完成情况报告以及指挥相应的救援行动。一些主要道路在地震后被堵塞，下表给出了在每两个办公室间的交通所耗费的时间。

到 从 办公室1 办公室2 办公室3 办公室4 办公室2 25 办公室3 50 40 办公室4 50 40 35 总部 30 45 65 80 负责人希望能够以最短的时间巡视各个办公室然后回到总部。

案例12 集合覆盖问题（仓库位置设置）

有一家公司希望开设新的仓库，以向销售中心供货。每开设一个新的仓库都有一些固定费用。货物将从仓库运输到附近的销售中心。每次运费取决于运输距离。

有12个可以建造新仓库的位置，并且需要从这些仓库向12个销售中心供货。 下表给出每个仓库完全满足每个客户（销售中心）需求所需的总成本（千元，不是单位成本）。因此，例如从仓库1向客户9供货单位成本为60000元/30吨，即2000元/吨。如果无法送货则标记为无穷大∞。

仓库 1 2 3 4 客户 1 100 120 140 160 2 80 90 110 125 3 50 60 80 100 4 50 70 80 5 6 7 120 140 160 190 8 90 110 125 150 9 60 80 100 130 10 70 80 ∞ 11 12 60 100 65 110 75 130 65 110 75 130 ∞ ∞ 100 80 150 100 80 150 5 6 7 8 9 10 11 12 190 200 100 120 140 160 190 200 150 180 80 90 110 125 150 180 130 150 50 60 80 100 130 150 ∞ ∞ 50 70 80 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 200 100 120 140 160 190 200 100 180 80 90 110 125 150 180 80 150 50 60 80 100 130 150 50 ∞ 50 70 80 ∞ ∞ 50 ∞ ∞ 60 100 65 110 75 130 ∞ ∞ ∞ ∞ 60 100 65 110 75 130 ∞ ∞ ∞ ∞ 100 80 150 100 80 150 60 100 对每个仓库，还有如下信息，仓库建设的固定费用（需要计入目标函数）和仓库的容量上限。

仓库 1 2 3 100 3 75 4 5 6 7 8 9 10 250 10 150 11 230 11 95 12 180 12 120 建设费用 3500 9000 10000 4000 3000 9000 9000 3000 4000 10000 9000 35000 容量上限 300 250 客户 需求量 1 2 120 80 180 275 300 200 220 270 4 5 6 7 8 60 9 30 100 110 100 90 案例13 最小生成树（城市交通部）

为了满足公众的要求，城市交通部考虑在温哥华市区建造新的轻轨交通系统。基于公众的要求，交通部确定轻轨系统应连接8个居民区和商业中心，且成本最低。

交通部的工程设计人员提出了一系列方案。交通部已经停止了对轻轨项目的招标，并且确定了各条线路的最低成本。由于某些线路的建造可能获得当地商业机构的赞助款，所以成本可能会进一步降低。

大学北部3商业区45西部1市中心26购物中心408单位：$1,000,0007南部 弧上的数字代表了最低的投标成本减去赞助款（以百万美元为单位）之后的金额。交通部需要决定选择哪些道路，以最小化建造成本。而最终的系统可以保证从任何一个中心区出发可以到达另外七个中心区。

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