数学建模案例

案例1 化工厂排污

某河流有两个化工厂，流经第一化工厂的河流为每天500万m2，在两个工厂之间有一条流量为每天200万m2支流，第一化工厂每天排放含有某种有害物质的工业污水2万m2，第二化工厂每天排放这种工业污水1.4万m2，第一化工厂每天排放的工业污水流到第二化工厂以前，有20%可自然净化。根据环保要求，河流中工业污水的含量不大于0.2%，这两个工厂都需要各自处理不部分工业污水。第一化工厂处理工业污水的成本是1000元/万m2，第二化工厂处理工业污水的成本是800元/万m2。现在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多少工业污水，使这两个工厂总的处理工业污水费用最小。

○工厂1

500万m2 ○工厂2 200万m2

案例2 自来水输送

小区基本用水量(水库供水量千吨A：50 B：60 C：50 （以天计） 甲：30；50 乙：70；70 丙：10；20 丁：10；40 小区额外用水量千吨收入：900元/千吨 引水管理费

元/千吨 A 甲 160 130 乙 丙 220 170 丁 () ()

千吨) B C 140 190 130 200 190 230 150 / 其他费用:450元/千吨 ? 应如何分配水库供水量，公司才能获利最多？

? 若水库供水量都提高一倍，公司利润可增加到多少？

案例3 公共部门建模（ST. JOSEPH 公共事业委员会）

St. Joseph公共事业委员会负责对最近一次洪水所导致的公共事业问题进行检查并汇报。需要调查的项目包括电线、天然气管道以及绝缘设施。委员会只有1星期时间用于检查。委员会分到了3名电气专家与2名天然气专家，每人可以在其专业领域范围内进行40小时的检察工作。另外委员会还预留出了$10,000用于绝缘设施的检查。这$10,000可以雇用当地专业的绝缘设施企业Weathertight Insulation进行多达100小时（$100/小时）的检察。

这些专家需要对当地的民宅、写字楼以及工厂进行检查。目标是在指定时间内对尽可能多的建筑进行全面检查以收集所需信息。但是检查的写字楼及工厂数量均不能低于8处，且检查的民宅数量不能低于检查总数的60%。

一旦确定了需要检查的每种建筑的数量，接下来就将专家随机安排到各个建筑执行检查工作。委员会指定了每种建筑及检查项目的大致检查时间：

民宅 写字楼 工厂 电气 天然气 绝缘 2 4 6 1 5 3 3 2 1 委员会雇用了一个管理咨询团队来确定需要检查的民宅、写字楼以及工厂的数量。

案例4 项目选择模型（塞勒姆城市委员会）

在财政年度的最后一次会议上，塞勒姆城市委员会将制订计划分配本年的预算余额。全年共有9个项目列入了考虑。

为了估计社会对不同项目的支持情况，委员会在全市范围内将对每个项目进行打分（9=最高级别；1=最低级别）的调查问卷邮寄给投票人。委员会根据其收到的500份有效问卷对每个项目进行打分。尽管委员会反复强调不会受到问卷结果的限制，但委员会仍然打算利用这些信息结合一些其它相关因素制订预算分

配计划。

每个项目的成本、每个项目能够创造的长期就业机会以及每个项目的问卷得分归纳如下：

项目 成本($1000) 就业机会 公众打分 400 350 50 100 500 90 220 150 140 7 0 1 0 2 1 8 3 2 4176 1774 2513 1928 3607 962 2829 1708 3003 X1 聘用7名警察 X2 警察总部的现代化改造 X3 购买两辆警车 X4 为巡警支付奖金 X5 购买新的消防车辆及相关设备 X6 聘用辅助消防主管 X7 恢复削减掉的学校体育项目的资助 X8 恢复削减掉的学校音乐项目的资助 X9 为中学购买新的计算机设备 委员会的目标是在满足如下约束的基础上获得最大支持率（问卷信息）。 ● 需要分配的预算余额共有$900,000 ● 委员会希望至少能够创造10个就业机会

● 尽管对犯罪的打击与威慑受到了公众的支持，但委员会认为也要同时考虑其它的社会公共事业（消防与教育）。因此，委员会希望最多资助3个公安项目 ● 委员会希望增加城市中紧急车辆的数量，但由于需要同时考虑其它问题，委员会只能资助2个紧急车辆项目中的1个。因此，在购买两辆警车与购买一辆消防车中只能选择一个。

● 委员会认为如果需要恢复削减掉的学校体育项目的资助，那么同时也应该恢复削减掉的学校音乐项目的资助，反过来也一样。

● 根据联邦规定，在资助任何新的学校项目之前，必须恢复以前取消的资助项目。因此，在购买新的计算机设备之前，必须首先恢复学校体育与音乐项目的资助。但是恢复学校体育与音乐项目的资助并不意味着必然购买新的计算机设备。

案例5 人员计划模型（落日海滩的救生员配置）

在夏季，落日海滩每天都需要配备救生员。落日海滩的一般员工（也包括救生员）每周连续工作5天，休息两天。对于大多数员工来说，周六与周日休息，但对于救生员来说，这却是最忙的两天。

落日海滩在任何一天中，要求为每8000个游客至少配备1名救生员。下表

给出了落日海滩夏季各天平均的游客数量以及所需要的救生员的最少数量。

天 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 平均游客数量 需要的救生员数量 58,000 42,000 35,000 25,000 44,000 51,000 68,000 8 6 5 4 6 7 9 基于目前的财务状况，落日海滩希望雇用的救生员数量越少越好。

案例6 运输网络（卡尔顿制药公司）

卡尔顿制药公司向美国南部和中西部的众多医院和药店提供药品和其它医用产品。卡尔顿拥有三个制药工厂（分别位于俄亥俄州的克利夫兰、密歇根州的底特律和卡罗莱纳州的格林斯波）和四个分销仓库（分别位于马萨诸塞州的波士顿、弗吉尼亚州的里士满、乔治亚州的亚特兰大和密苏里州的圣路易斯）。

卡尔顿公司根据需要定期补充药品和其它他医用品库存。但是由于香港A型流感病毒正在全国传播，因此导致卡尔顿分销仓库中的流感疫苗库存不足。所以当务之急是在一周内完成对其四个分销仓库的补货。

在满负荷生产条件下，到本周末，克利夫兰厂工厂能够生产1200箱疫苗，底特律工厂能够生产1000箱疫苗，格林斯波工厂能够生产800箱疫苗。综合考虑了各分销仓库服务区域内的人口、医院和医生数量、以及可能的感染人数，公司决定将3000箱疫苗中的1100箱运至波士顿，400箱运至里士满，750箱运至亚特兰大，750箱运至圣路易斯。

由于运输部门使用正常的公路/铁路运输方式不能及时交货，公司与多家快递公司联系，以确定从各个制药工厂到分销仓库之间最低的单位运费。这些运输成本信息在下表中给出。

从 克利夫兰 底特律 格林斯波 到 波士顿 里士满 亚特兰大 圣路易斯 $35 $37 $40 $30 $40 $15 $40 $42 $20 $32 $25 $28 卡尔顿公司的领导层决定尽可能的降低运输成本。

案例7 最短路网络（路通公司）

路通公司是一个在美国各州都有分公司的搬家公司。公司目前所面临的一个

博伊西布特西雅图12夏安5问题是将家居用品从华盛顿州的西雅图运送到德克萨斯州的埃尔帕索。

由于平均行驶速度合理以及驾驶性能好，Fairway Van Lines的运输车辆几乎

波特兰346盐湖城贝克斯费尔德78拉斯维加斯9埃尔伯克奇凤凰城1012埃尔帕索可以在任何高速公路上行驶。这次搬运将在夏天进行，所以天气因素也不必考虑。

图森11下图显示了Fairway Van Lines的运输车运输时可以通行的高速公路网。公司管理层希望找到从西雅图到埃尔帕索的最短路线。

案例8 转运问题（极致供应）

极致供应在华盛顿特区拥有6家商店。周六晚上，福尔丘奇和班切斯塔的商店发现他们将要在周日华盛顿邮报刊登广告的阿卡迪亚65A型工作站缺少库存。两家商店分别需要补充12和13部该型工作站以应对广告登出后可能增加的客户需求。

管理层确认位于亚历山大和查维切斯的商店分别可以提供10部和17部工作站。但是，两家商店只能把目前运送其它货物的运输车上的空间腾出来运送工作站。图4.17标出了两个商店之间单位产品的运输成本以及所能运送的工作站数量上限。极致供应希望以最小运输成本将工作站从亚历山大和查维切斯运送到福尔丘奇和班切斯塔。

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