解直角三角形知识点及典型例题

本章知识结构梳理

锐角三角函数

解直角三角形

⑴、正弦；

1锐角三角函数的定义 ⑵、余弦； ⑶、正切。

2、30°、45°、60°特殊角的三角函数值。

⑴、定义； ①、三边间关系； ⑵、直角三角形的依据 ②、锐角间关系；

3、各锐角三角函数间关系

③、边角间关系。

⑶、解直角三角形的应用。

一、锐角三角函数

1、梯子越陡——倾斜角＿＿＿＿＿

倾斜角越大——铅直高度与梯子的比＿＿＿＿＿

倾斜角越大——水平宽度与梯子的比＿＿＿＿＿ 倾斜角越大——铅直高度与水平宽度的比＿＿＿＿

2、直角三角形ABC和直角三角形ABC有什么关系? 边之间的关系呢？

11

3、三角函数定义：

注意：sinA，cosA，tanA都是一个完整的符号，单独的sin，cos，tan是没有意义的，其中A前面的“∠”一般省略不写

例1、把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△A′B′C′，那么锐角A，A′的余弦值的关系为（ ）

A．cosA=cosA′ B．cosA=3cosA′ C．3cosA=cosA′ D．不能确定

例2、在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则下列各项中正确的是（ ）

A．a=c·sinB B．a=c·cosB C．a=c·tanB D．以上均不正确

例3、在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=

23，则tanB等于（ ）

1

A．

325 B． C．5537，则sinα245 D．

5 2例4、已知：α是锐角，tanα=

=_____，cosα=_______．

4、取值范围：0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0

例5、已知锐角A满足关系式2sinA2-7sinA+3=0，则sinA的值为（ ） A. 12 B. 3 C12或3 D.4 5、三角函数之间的关系 互余关系：如果∠A+∠B=90°，那么sinA= cosB，cosA= sinB，tanA·tanB=1 同角关系：sinA+ cosA=1 22 二、特殊角的三角函数值 α 30° 45° 60° sinα cosα 32tanα 33 12 22 22 1 21 32 3 三、解直角三角形 解直角三角形的知识在生活和生产中有广泛的应用，如在测量高度、距离、角度，确定方案时常用到解直角三角形。解这类题关键是把实际问题转化为数学问题，常通过作辅助线构造直角三角形来解决。

坡度（坡比） 方向角度 俯角仰角

例6、如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB?的值．

例7、如图，∠C=90°，∠DBC=30°，AB=BD，根据此图求tan15°的值．

2

例8、如图，角α的顶点在直角坐标系的原点，一边在x轴上，?另一边经过点P（2，

23），求角α的三个三角函数值．

例9、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，已知∠ADC=45°，DC=6,sinB=3/5,试求tan∠BAD. A

C D B

例10、如图，圆O是△ABC的外接圆，连接OA、OC。

3圆O的半径为2，sinB= 求弦AC的长？

4 O 例11、孩子们都喜欢荡秋千，如图，是一秋千示意图，当拉绳荡起偏离竖直位置30°角时，秋千低端的位置比原来升高了多少？(精确到0.1米）

10米 B A

例12、如图，为了测量某建筑物AB的高度，在平地上C处测的建筑物顶端A的

A 仰角为30°，沿CB方向前进12m，到达D处，在D处测的建筑物顶点A的仰角

为45°，则建筑物AB的高度等于多少？

B C D

例13、一艘渔船以6海里/时的速度自东向西航行，小岛周围 海里内有暗礁，渔船在A处测得小岛D在北偏西60°方向上，航行2小时后在B处测得小岛D在北偏西30°方向上。 （1）、如果不改变航向有没有触礁危险？

D （2）、在上面的问题中若有触礁危险，则至少向西南方偏多少度才安全？

B C A

C B

6A

3

例14、如图，水坝的横断面是梯形，迎水坡BC的坡角∠B=30°，背水坡AD的坡度为1：，坝顶DC宽

25米，坝高CE是45米，求：坝底AB的长？迎风坡BC的长？以及BC的坡度。（答案可以带上根号）

例15、如图所示，学校在楼顶平台上安装地面接收设备，为了防雷击，在离接收设备3米远的地方安装避雷针，接收设备必须在避雷针顶点45?°夹角范围内，才能有效避免雷击（α≤45°），已知接收设备高80厘米，那么避雷针至少应安装多高？

例16、如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行，请你根据图中数据计算回答：小敏身高1.78米，她乘电梯会有碰头危险吗？姚明身高2.29米，他乘电梯会有碰头危险吗？（可能用到的参考数值：sin27°=0.45，cos27°=0.89，tan27°=0.51）

例17、一辆客车位于休息站A南偏西60°方向，且与A相距80千米的B处，它从B处沿北偏东α的方向

行驶，同时一辆三轮车以每小时40千米的速度从A处出发，沿正北方向行驶，行驶2小时，两车恰好相遇．

(1)求客车的速度； (2)求sin?的值．

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