2019中考数学复习训练专题八图形折叠问题（含答案）(2)

【基础训练】

1．D 2.B 3.105° 4.11

22＋2或1 5.15

6.21

7 7.36π－108

【拔高训练】 8．A 9.C 10.3或3

2

11．解：(1)∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为关于PQ对称，

∴PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF. 又∵EF∥AB，∴∠BPF＝∠EFP， ∴∠EPF＝∠EFP，∴EP＝EF， ∴BP＝BF＝EF＝EP， ∴四边形BFEP为菱形． (2)①∵四边形ABCD是矩形，

∴BC＝AD＝5 cm，CD＝AB＝3 cm，∠A＝∠D＝90°. ∵点B与点E关于PQ对称， ∴CE＝BC＝5 cm.

在Rt△CDE中，DE＝CE2－CD2＝4 cm， ∴AE＝AD－DE＝5 cm－4 cm＝1 cm. 在Rt△APE中，AE＝1，AP＝3－PB＝3－PE， ∴EP2＝12＋(3－EP)2， 解得EP＝5

3

cm，

PQ，∴点B与点E

5

∴菱形BFEP的边长为 cm.

3

②当点Q与点C重合时，如图1， 点E离点A最近，由①知，此时AE＝1 cm. 当点P与点A重合时，如图2所示，

点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝3 cm， ∴点E在边AD上移动的最大距离为2 cm. 【培优训练】

1

12．解：(1)由对折可知，∠EFC＝90°，CF＝CD. 2∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝CB， 1∴CF＝BC. 2

由折叠的性质知，CB′＝CB， 1

∴CF＝CB′，

2

CF1

∴在Rt△B′FC中，sin∠CB′F＝＝，

CB′2∴∠CB′F＝30°.

(2)如图，连结BB′交CG于点K，由对折可知，EF垂直平分AB，

∴B′A＝B′B，∠B′AE＝∠B′BE. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°， ∴∠B′BE＋∠KBC＝90°. 由折叠知，∠BKC＝90°， ∴∠KBC＋∠GCB＝90°， ∴∠B′BE＝∠GCB.

又由折叠知，∠GCB＝∠GCB′， ∴∠B′AE＝∠GCB′.

(3)四边形B′PD′Q为正方形． 证明：如图，连结AB′.

由(2)可知，∠B′AE＝∠GCB′，由折叠可知，∠GCB′＝∠PCN，∴∠B′AE＝∠PCN.

由对折知，∠AEB′＝∠CNP＝90°， AE＝12AB，CN＝12

BC. 又∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∴AE＝CN. 在△AEB′和△CNP中，

∠B′AE＝∠PCN，??

∵?AE＝CN， ??∠AEB′＝∠CNP，

∴△AEB′≌△CNP(ASA)，∴EB′＝NP. 同理可得FD′＝MQ.

由对称性可知，EB′＝FD′， ∴EB′＝NP＝FD′＝MQ.

由两次对折可得OE＝ON＝OF＝OM， ∴OB′＝OP＝OD′＝OQ， ∴四边形B′PD′Q为矩形． 由对折知，MN⊥EF于点O， ∴PQ⊥B′D′于点O， ∴四边形B′PD′Q为正方形．

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