第十三章 - 力矩分配法[1]

第十三章 力矩分配法

§ 13-1 力矩分配法的基本概念

力法是计算超静定结构的基本方法，但却需要解算方程，当未知量的数目较多时，计算工作量很大。为避免解算方程组，人们曾提出了许多实用的计算方法，其中较为流行的是力矩分配法。该法是一种逐渐逼近精确解的方法。即根据结构的受力状况，由开始的渐近值，逐次加以修正，最后逼近了精确解。这种方法的优点是避免了解联立方程，计算的结果就是杆端弯矩，计算中每一步都有明确的物理意义，便于记忆，容易掌握，用手算分析连续粱和无结点线位移的刚架十分简便。

一、转动刚度

所谓的转动刚度就是表示杆端对转动的抵抗能力。它在数值上等于在发生单位转角的杆端所产生的力矩。图13-1（a）所示等截面直杆AB，当A端(或称近端)顺时针发生单位转角时，则在A端所产生的力矩称为该杆端的转动刚度，并用SAB表示。其值与杆件的线刚度（i?EIl）和杆件另一端(或称远端)的支承情况有关。各种杆件的转动刚度已由力

法算出，如图13-1所示：

远端固定，SAB?远端铰支，SAB?远端自由，SAB?

二、分配系数

图13-2（a）所示刚架，由于刚结点上力偶矩mA的作用而发生变形，刚结点A发生转角?A而达到平衡。此时各杆在A端都发生了相同的转角?A，由转动刚度的定义可知：

4i, 如图13-1（a）所示。

3i, 如图13-1（b）所示。

0，如图13-1（d）所示。

远端定向，SAB?i, 如图13-1（c）所示。

MAB?SAB?A?4iAB?A?? MAC?SAC?A?iAC?A? 式（13—1）

MAD?SAD?A?3iAD?A??取结点A为隔离体，如图13-2（b）所示，由平衡方程∑MA = 0得： mA?SAB?A?SAC?A?SAD?A 整理得： ?A =

SABmAm?A

?SAC?SAD?SA其中

?S表示刚结点A所连接的各杆件转动刚度之和。将?AA值代入式（13—1）得：

MAB =

SSABSmA MAC = ACmA MAD = ADmA ?S?S?SAAA 由此得出，各杆A端的弯矩与各杆的转动刚度成正比。可以用下列公式表示计算结果：

MAi = ?AimA 其中 ?Ai?SAi??SA 式（13—2）

? 这里?Ai称为分配系数、MAi称为分配弯矩。其中i可以是B、C或D，如?AB称为杆

件AB在A端的分配系数。杆件AB在刚结点A的分配系数?AB等于杆件AB的转动刚度与交于A点的各杆转动刚度之和的比值。 同一刚结点各杆分配系数之间存在下列关系：

??Ai??AB??AC??AD?1

以上的计算可简单表述为：把作用在刚结点A上的力偶矩按各杆的分配系数直接分配于各杆的A端。

三、传递系数

在图13-2（a）中，力偶矩mA加于刚结点A，使各杆近端产生弯矩，同时也使各杆远端产生弯矩。各杆端弯矩的具体数值如下：

MAB = 4 iAB?A ， MBA= 2 iAB?A MAD = 3 iAD?A ， MDA = 0 MAC = iAC?由上述结果可知：

A

， MCA = ? iAC?A

MMBAM?CAB?0.5 DA?CAD?0 CA??1 或用公式表示： MABMADMACCMiA?CAi?MAi

四、基本原理

现以图13-3（a）所示只有一个刚结点的刚架为例，来说明力矩分配法的基本原理。刚架各杆均为等截面直杆，在刚架计算中，一般不考虑杆件轴向变形的影响，因C处有竖向约束，B处有水平约束，因而刚结点A上下左右都不能移动（无侧移结构），只有角位移?A而无线位移，变形曲线如图中虚线所示。

为了计算该结构，在结构没有承受荷载前，先在刚结点A处加上控制转动的附加刚臂（抗转支座）将刚结点A锁住，此时刚结点A处无任何位移，相当于固定端约束。原结构被附加刚臂分隔为三个单跨超静定梁AB、AC和AD，如图13-3（d）所示。此时，在荷载

作用下其变形曲线如图13-3（b）所示。各种单跨超静定梁在荷载作用下的两端弯矩称为固端弯矩，固端弯矩可由表13-1查得。因此在附加刚臂上产生了约束力矩mA，此约束力矩mA可以用刚结点的力矩平衡条件∑M = 0求得：

ggg mA?MAB ?MAC?MAD即附加刚臂上的约束力矩mA等于刚结点A处各杆近端固端弯矩之和。以顺时针转向为正，反之为负。为了使图13-3（b）所示附加刚臂的结构能和原结构的变形和受力等同，必须放松附加刚臂，使刚结点A产生转角?A，或抵消附加刚臂上的约束力矩mA。为此，在刚结点A处加上一个与约束力矩mA大小相等，转向相反的力矩 ? (mA)，即约束力矩的负值，如图13-3（C）所示。?(mA)将使刚结点A产生原结构的转角?A。

由以上分析可见，图13-3(a)所示刚架受力和变形情况，应等于图13-3(b)和图13-3(C)所示两种情况的叠加。也就是说，要计算原结构各杆件的杆端弯矩，应分别计算图13-3（b）所示情况的杆端弯矩即固端弯矩（查表13-1）和图13-3（C）所示情况的杆端弯矩（即分配弯矩、传递弯矩），然后将它们叠加起来就是最终弯矩。对于图13-3（C）所示情况的杆端弯矩计算，由以上分析可知，只要把作用在刚结点A的力偶矩 ?(mA)按各杆的分配系数分配于各杆的A端（近端）得到分配弯矩，再由各杆A端的分配弯矩分别乘以传递系数传向远端得到传递弯矩即可。

下面举例说明力矩分配法的计算步骤。

【例13-1】 用力矩分配法分析图13-4（a） 所示连续梁，作出弯矩图。 解:1．计算分配系数：

两杆在B结点刚性连接，A端为链杆支座，C端为固定，两杆转动刚度分别为

SBA?3iBA?3?SBC?4iBC2EI1?EI122 EI1?4??EI82因此：

?BA?SBASBA?SBC1EI12??

112EI?EI221EI12??

112EI?EI22

?BC?SBCSBA?SBC

???1 说明计算无误。

2．计算固端弯矩和约束力矩： 由表13-1查得各固端弯矩为

gMAB?0

MgBAql21???10?122?180kN?m

88

gMBC??gMCBPl1???100?8??100kN?m 88Pl1???100?8?100kN?m 88连接于结点B的各固端弯矩之和等于约束力矩mB

ggmB?MBA?MBC?180?100?80kN?m

3．计算分配弯矩、传递弯矩：

将分配系数乘以约束力矩的负值即得分配弯矩

?MBA??BA(?mB)??MBC1?(?80)??40kN?m 21??BC(?mB)??(?80)??40kN?m

2将传递系数乘以分配弯矩即得传递弯矩

C?MAB?CBAMBA?0

C?MCB?CBCMBC?0.5?(?40)??20kN?m

4．计算各杆端的最终弯矩：

gCMAB?MAB?MAB?0MBA?MgBA?MBA?180?40?140kN?m?

g?MBC?MBC?MBC??100?40???140kN?mMCB?M5．画弯矩图：

gCB?MCCB?100?20?80kN?m

根据各杆端的最终弯矩和已知荷载，用叠加法画弯矩图如图13-4 (c)所示。

实际计算时，可以直接在结构上进行（也可以列表计算），如图13-4 (b)所示。分配弯矩下面画一横线，表示该结点已经平衡(即附加刚臂上的约束力矩已被抵消)，用箭头表示分配弯矩的传递方向。杆端弯矩的最终结果下面画双横线。

§ 13-2 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架

上节用只有一个刚结点的结构介绍了力矩分配法的基本概念。对于具有两个以上刚结点的结构也可用力矩分配法进行计算。具体作法是先在各刚结点上附加刚臂，使刚结点固定不动，各杆端产生固端弯矩（由表13-1查得），在各附加刚臂上产生了约束力矩，然后再逐次放松各结点，或轮流抵消附加刚臂上的约束力矩，即在放松的刚结点上进行弯矩的分配、传递。这相当于轮流撤掉刚臂使其转动。每放松一个刚结点，该刚结点的弯矩即可达到平衡，这样，轮流放松各刚结点，每放松一个刚结点，就使该刚结点的弯矩达到平衡，但在其他刚臂上会产生新的约束力矩。如此循环几次以后，各附加刚臂上的约束力矩愈来愈小，直到略去为止。最后根据叠加原理求得结构各杆端的最终弯矩。 多结点力矩分配法的计算步骤如下： 1.计算汇交于刚结点的各杆端分配系数

?ij，并确定传递系数Cij。

4.将各杆端的固端弯矩与每次各杆端对应的分配弯矩或传递弯矩相叠加，即得各杆端的最终弯矩。

5.先绘出弯矩图，再由平衡方程计算剪力和轴力，进而可绘出剪力图和轴力图。

下面通过例题说明计算步骤和格式。

【例13-2】 用力矩分配法分析图13-5（a）所示连续梁，作出弯矩图。 解:1．计算分配系数和传递系数： 在刚结点B、C附加刚臂 刚结点B：

SBA?4iBA?4?11.5?0?667 SBC?4iBC?4??1 66

?BA?SBA0.667??0.4 CBA?0.5 ?S0.667?1B

?BC?SBC1??0.6 CBC?0.5 ?S0.667?1BBA校核：

????B??BC?0.4?0.6?1

1.52?1 SCD?3iCD?3??1 66刚结点C：

SCB?4iBC?4?

?CB?SCB1??0.5 CCB?0.5 ?S1?1C

?CD?SCD1??0.5 CCD?0 ?S1?1CCB校核：

????C??CD?0.5?0.5?1

将分配系数分别写在图13-5 (b)中结点上端的方框内。 2．锁住刚结点B、C，求各杆的固端弯矩。 由表13-1查得：

gggMAB?MBA?MDC?0

gCBMgMBCql230?62???90kN?m 1212ql230?62??????90kN?m

1212 Mg??3Pl??3?20?6??22.5kN?m

CD1616将固端弯矩写在图13-5 (b)表格的第一行。 3．弯矩分配与传递：

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