函数周期性公式大总结

函数周期性公式大总结

篇一：函数点对称线对称及周期总结 函数对称性、周期性全解析

函数对称性、周期性是函数这一部分在历年高考中的一个重点，现在全部解析如下：

一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、 周期性：对于函数yf(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)都成立，那么就把函数yf(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义（略），请用图形来理解。 3、 对称性：

我们知道：偶函数关于y（即x=0）轴对称，偶函数有关系式 f(x)f(x)

奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式f(x)f(x)0 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数yf(x)关于xa对称f(ax)f(ax) f(ax)f(ax)也可以写成f(x)f(2ax) 或 f(x)f(2ax)简证：设点(x1,y1)在yf(x)上，通过f(x)f(2ax)可知， y1f(x1)f(2ax1)，即点(2ax1,y1)也在yf(x)上，而点(x1,y1)与点(2ax1,y1)关于x=a对称。得证。

若写成：f(ax)f(bx)，函数yf(x)关于直线x 对称

（2）函数yf(x)关于点(a,b)对称f(ax)f(ax)2b 上述关系也可以写成f(2ax)f(x)2b 或 f(2ax)f(x)2b 简证：设点(x1,y1)在yf(x)上，即y1f(x1)，通过f(2ax)f(x)2b可知，(ax)(bx)ab 22

f(2ax1)f(x1)2b，所以f(2ax1)2bf(x1)2by1，所以点(2ax1,2by1)也在yf(x)上，而点(2ax1,2by1)与(x1,y1)关于(a,b)对称。得证。

若写成：f(ax)f(bx)c，函数yf(x)关于点(

（3）函数yf(x)关于点yb对称:假设函数关于yb对称，即关于任一个x值，

都有两个y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于yb对称。但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于yb对称，比如圆abc,) 对称 22c(x,y)x2y240它会关于y=0对称。 4、 周期性：

（1）函数yf(x)满足如下关系系，则f(x)的周期为2T A、f(xT)f(x) B、f(xT)

C、f(x11 或f(xT)f(x)f(x)T1f(x)T1f(x)或f(x)（等式右边加负号亦成立） )41f(x)41f(x) D、其他情形

（2）函数yf(x)满足f(ax)f(ax)且f(bx)f(bx)，则可推出

f(x)f(2ax)f[b(2axb)]f[b(2axb)]f[x2(ba)]即 可以得到yf(x)的周期为2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于

x轴两条直线对称，则函数一定是周期函数” （3）如果奇函数满足f(xT)f(x)则可以推出其周期是2T，且可以推出对称轴为

xT2kT(kz)，根据f(x)f(x2T)可以找出其对称中心为2 (kT，0)(kz)（以上T0）

如果偶函数满足f(xT)f(x)则亦可以推出周期是2T，且可以推出对称中心为(T2kT,0)(kz)，根据f(x)f(x2T)可以推出对称轴为2

xT2kT(kz) （以上T0）

（4）如果奇函数yf(x)满足f(Tx)f(Tx)（T0），则函数yf(x)是

以4T为周期的周期性函数。如果偶函数yf(x)满足f(Tx)f(Tx)

（T0），则函数yf(x)是以2T为周期的周期性函数。 二、 两个函数的图象对称性 1、 yf(x)与yf(x)关于X轴对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(x)，即它们关

于y0对称。

2、 yf(x)与yf(x)关于Y轴对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(x)，即它们关于x0对称。

3、 yf(x)与yf(2ax)关于直线xa对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(2ax)，即它们关于xa对称。

4、 yf(x)与y2af(x)关于直线ya对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(x)2a，即它们关于ya对称。

5、 yf(x)与y2bf(2ax)关于点(a,b)对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(2ax)2b，即它们关于点(a,b)对称。

6、 yf(ax)与y(xb)关于直线xab对称。 2 篇二：函数周期性解题的常见类型. 函数周期性解题的常见类型

灵活应用函数周期性，可巧妙的解答某些数学问题，它对训练学生分析问题与解决问题的能力有重要作用。 一、求函数值：

例1.设f(x)是(,)上的奇函数，f(2x)f(x),当0x1时，f(x)x，则f()等于

（A）;（B）-; （C）;（D）-

分析 ：此题的关键在于求yf(x)的周期，如果类比模型函数ysinx及诱导公式sin(x)sinx，将由ysinx最小正周期为2，可以猜想f(x)周期为224，会使问题得以解决. 解：f(4x)f2(2x)f(x2)f(x)f(x) f(4x)f(x),故函数的周期为4. f()f(8)f()f()

二、比较函数值大小 0x1时,f(x)x,f(),选择(B). 1998例2.若f(x)(xR)是以2为周期的偶函数，当x0,1时，f(x)x,试比较

f(98101104)、f()、f()的大小. 191715 解：f(x)(xR)是以2为周期的偶函数，

f(98161616101111)f(6)f()f(),f()f(6)f()f()1919191917171717 1041414f()f(6)f()151515 又f(x)x1

1998在0,1上是增函数，且0116141，171915 1161410198104f()f()f(),即f(f()f(). 171915171915 三、求函数解析式

例3.设f(x)是定义在区间(,)上且以2为周期的函数，对kZ，用Ik表示区

2间(2k1,2k1),已知当xI0时，f(x)x.求f(x)在Ik上的解析式.

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说教育文库函数周期性公式大总结在线全文阅读。