线性代数与空间解析几何期末考试题

非数学专业大学数学

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2011～2012学年第二学期课程考试试卷（A卷）

课 程线性代数与空间解析几何B考试时间2012 年 7 月 2 日

………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。………………

3、设有向量组A： 1, 2, 3, 4，其中 1, 2, 3线性无关，则（）

(A) 1, 3线性无关； (B) 1, 2, 3, 4线性无关； (C) 1, 2, 3, 4线性相关

(D) 2, 3, 4线性相关.

4、设A为n阶对称矩阵，B为n阶反对称矩阵，则下列矩阵中为对称矩阵的是( )

(A) AB-BA；(B)AB+BA；(C)AB；(D)BA.

5、设A为m×n矩阵，则n元齐次线性方程组Ax=0存在非零解的充要条件是（）

(A) A的行向量组线性无关； (B) A的行向量组线性相关； (C)A的列向量组线性无关；(D) A的列向量组线性相关.

三、计算题（每小题9分，满分18分）

1

a

0b1 b 1

00c1 c

11 a00

10

一、填空题（每小题3分，满分27分）

x

y01

z

3 6，则行列式1

2x431

2y01

2z

1 _________. 1

1、设行列式4

1

2、已知矩阵A满足A2-2A-8E=0，则(A+E) -1=_____________.

3、已知向量组 1=(1,2,3)T, 2=(3,-1,2)T, 3=(2,3,k)T线性相关，则常数k=_________.

5 2

4、设矩阵A=

0 0

2100

0021

0 0 -1

，则A=________________. 1 1

（1）D=.

5、若A、B为5阶方阵，且Ax=0只有零解，且R(B)=3，则R(AB)=___________. 6、三元线性方程x1+x2+x3=1的通解是_______________. 7、若矩阵

1

A= 0

0

与矩阵4

1

（2）设矩阵A= 0

1

026

1

0 ,而X满足AX+E=A2+X，求X. 1

四、应用题（每小题10分，满分20分）

（1）求向量组 1 1,1，3，5 ， 3 3,1,5,6 ， 4 1,-1，1，4 ， 2 2,1，3， 2 的一个

T

T

3

B= a

b

相似，则x

x=_____.

TT

极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组表示出来.

1 1

2 28、设3元非齐次线性方程组Ax=b有解 1= , 2= 且R(A)=2，则Ax=b的通解为 3 3

-1

（2）设A= 0

1

1

21

__________________.

9、若f (x1,x2,x3)=x12 4x22 4x32 2 x1x2 4x2x3为正定二次型,则 的取值应满足______. 二、选择题（每小题3分，满分15分）

1、若矩阵A可逆，则下列等式成立的是（）

(A) A=

1A

2 1 12 1 1

A*；(B)A 0；(C)(A) (A); (D)(3A) 3A.

0 a

0 ,b = -1 ，已知非齐次线性方程组Ax=b存在两个不同的

1 -1

解，求（I） ，a的值；（II）Ax=b的通解.

五、证明题（满分8分）设A，B，A+B均为n阶正交矩阵，证明:(A B) 1 A 1 B 1. 六、综合题（满分12分）

2

设A= 0

0

03a

0 1 -1a 的三个特征值分别为1，2，5，求正交矩阵P，使P AP = 0

03

020

0

0 . 5

2、若A、B相似，则下列说法错误的是( ) ．．

(A) A与B等价；(B)A与B合同；(C) | A |=| B |；

(A) A与B有相同特征值.

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