中考数学易错题综合专题（附答案详解）探究(8)

考点： 等边三角形的性质；等式的性质；三角形三边关系；全等三角形的判定与性质． 专题： 证明题． 分析： （1）AP=BP+PC，理由是延长BP至E，使PE=PC，连接CE，由∠BPC=120°，推出等边△CPE，得到CP=PE=CE，∠PCE=60°，根据已知等边△ABC，推出AC=BC，∠ACP=∠BCE，根据三角形全等的判定推出△ACP≌△BCE，得出AP=BE即可求出结论； （2）在AD外侧作等边△AB′D，由（1）得PB′=AP+PD，根据三角形的三边关系定理得到PA+PD+PC＞CB′，再证△AB′C≌△ADB，根据全等三角形的性质推出CB′=BD即 36

可． 猜想：AP=BP+PC， （1）证明：延长BP至E，使PE=PC，连接CE， ∵∠BPC=120°， ∴∠CPE=60°，又PE=PC， ∴△CPE为等边三角形， ∴CP=PE=CE，∠PCE=60°， ∵△ABC为等边三角形， ∴AC=BC，∠BCA=60°， ∴∠ACB=∠PCE， ∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP， 即：∠ACP=∠BCE， ∴△ACP≌△BCE， ∴AP=BE， ∵BE=BP+PE， ∴AP=BP+PC． （2）证明： 在AD外侧作等边△AB′D， 则点P在三角形ADB′外， ∵∠APD=120°∴由（1）得PB′=AP+PD， 在△PB′C中，有PB′+PC＞CB′， ∴PA+PD+PC＞CB′， ∵△AB′D、△ABC是等边三角形， ∴AC=AB，37

解答：

AB′=AD， ∠BAC=∠DAB′=60°， ∴∠BAC+∠CAD=∠DAB′+∠CAD， 即：∠BAD=∠CAB′， ∴△AB′C≌△ADB， ∴CB′=BD， ∴PA+PD+PC＞BD． 点评： 本题主要考查对等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系，等式的性质等知识点的理解和掌握，此题是一个拔高的题目，有一定的难度． 38

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