中考数学易错题综合专题（附答案详解）探究(6)

利用分类讨论的思想进行分析，对顶角为锐角和顶角为钝角时分别进行分析． 20．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第2个矩形的面积为

，第n个矩形的面积为 （ ）

2n﹣2

．

考点： 三角形中位线定理；菱形的性质；矩形的性质． 专题： 规律型． 分析： 易得第二个矩形的面积为（ ）2，第三个矩形的面积为（ ）4，依此类推，第n个矩形的面积为（ ）2n﹣2． 解答： 解：已知第一个矩形的面积为1； 第二个矩形的面积为原来的（ ）2×2﹣2=； 第三个矩形的面积是（ ）2×3﹣2=； … 故第n个矩形的面积为：（ ）2n﹣2． 故答案为：； 26

（ ）点评： 2n﹣2． 本题考查了三角形的中位线定理及矩形、菱形的性质，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 21．（2011?常州）把棱长为4的正方体分割成29个棱长为整数的正方体（且没有剩余），其中棱长为1的正方体的个数为 24 ． 考点： 一元一次方程的应用；截一个几何体． 专题： 分类讨论；方程思想． 分析： 从三种情况进行分析：（1）只有棱长为1的正方体；（2）分成棱长为3的正方体和棱长为1的正方体或棱长为3的正方体和棱长为2的正方体和棱长为1的正方体；（3）分成棱长为2的正方体和棱长为1的正方体． 解答： 解：棱长为4的正方体的体积为64， 如果只有棱长为1的正方体就是64个不符合题意排除； 如果有一个3×3×3的立方体（体积27），有1×1×1的立方体 27

37个，37+1＞29，不符合题意排除； 如果有一个3×3×3的立方体（体积27），有一个2×2×2的立方体（体积8），就只能有1×1×1的立方体29个，1+1+29＞29，不符合题意排除； 所以应该是有2×2×2和1×1×1两种立方体． 则设棱长为1的有x个，则棱长为2的有（29﹣x）个， 解方程：x+8×（29﹣x）=64， 解得：x=24． 所以分割的立方体应为：棱长为1的24个，棱长为2的5个． 故答案为：24． 本题考查了一元一次方程组的应用，立体图形的求解，解题的关键是分三种情况考虑，得到符合题意的可能，再列方程求解． 点评： 22．（2010?黑河）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2．以AC为一边，在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为 4；或2；或 ． 考点： 勾股定理． 专题： 分类讨论． 分析： 分情况讨论，①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC；②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD；③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC．分别画图，并求出BD． 解答： 解：①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC， 28

∵∠DAC=90°，且AD=AC， ∴BD=BA+AD=2+2=4； ②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD， 连接BD，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于E． ∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACD=90°， ∴∠DCE=45°， 又∵DE⊥CE， ∴∠DEC=90°， ∴∠CDE=45°， ∴CE=DE=2×=， =2， =2； 在Rt△BAC中，BC=∴BD==③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC， ∵∠ADC=90°，AD=DC，且AC=2， ∴AD=DC=ACsin45°=2×=， 又∵△ABC、△ADC是等腰直角三角形， ∴∠ACB=∠ACD=45°， ∴∠BCD=90°， 又∵在Rt△ABC中，BC=∴BD===2， =． 点评： 三．解答题（共4小题） 23．（2011?黑龙江）汶川灾后重建工作受到全社会的广泛关注，全国各省对口支援四川省受灾市县．我省援建剑阁县，建筑物资先用火车源源不断的运往距离剑阁县180千米的汉中市火车站，再由汽车运往剑阁县．甲车在驶往剑

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故BD的长等于4或2或． 分情况考虑问题，主要利用了等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识．

阁县的途中突发故障，司机马上通报剑阁县总部并立即检查和维修．剑阁县总部在接到通知后第12分钟时，立即派出乙车前往接应．经过抢修，甲车在乙车出发第8分钟时修复并继续按原速行驶，两车在途中相遇．为了确保物资能准时运到，随行人员将物资全部转移到乙车上（装卸货物时间和乙车掉头时间忽略不计），乙车按原速原路返回，并按预计时间准时到达剑阁县．下图是甲、乙两车离剑阁县的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象．请结合图象信息解答下列问题：

（1）请直接在坐标系中的（ ）内填上数据．

（2）求直线CD的函数解析式，并写出自变量的取值范围． （3）求乙车的行驶速度．

考点： 一次函数的应用． 专题： 函数思想． 分析： （1）根据已知和函数图象，可知确保物资能准时运到，甲车需3小时，因此可求出甲车的速度，从而求出图中B点的纵坐标，即180﹣=120，那么F点的横坐标为1+=1.2，那么D点的横坐标为：1.2+（3﹣1.2）÷2=2.1． （2）作DK⊥X轴于点K，由（1）得出点D的坐标，进而求出函数解析式及自变量的取值范围． （3）根据（2）求出的点D的坐标求出乙车的行驶速度．

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