天津市2009届高三数学模拟题分类（15套）(7)

?????????2)P,B|?| ?PB?(0,1,????5P,E?????(?1,0,PE1?). ||2????????????????PB?PE210???????cos?PBPE,??????5。 |PB|?PE||5?2

????????10?sin??cos?PB,PE??5

??（Ⅲ）设二面角M?BC?D的平面角为a，平面MBC的法向量为m=（x,y,z）， ??????????????????????),C? 则m?BM?0,m?BC?0 ?BM?(1,0,1B(2, 1????0,2x?y?0 ?x?z? , 不妨设x?1,则m?(1,?2,?1),|m|?6 ???????????? ?AP为平面ABCD的法向量，且AP?(0,0,2).|AP|?2

????????????AP?m?26?????cos?AP,m???????.6 |AP|?|m|26

?sin??

306

解法二：（I）同上；

?AD?AP，E是PD中点，?AE?PE。（Ⅱ）连结BE，

?PA?AB.AD?AB,?AB?面

PAD

?AB?PE

?PE?面ABME

??PBE就是直线PB与平面ABM所成的角。

?PE?2,PB?5,

?sin??PE10?PB5

（Ⅲ）连结AC，取AC的中点N，连结MN，过点N作NH?BC于H,连结MH，

?M是PC的中点，N是AC的中点，?MN//PA且

MN?1PA?12

?MN?面BCD 又?NH?BC ?MH?BC ??MHN就是二面角M?BC?D的平面角，设为?。

在Rt?BMC中，

BC?5,MC?1PC?3,MB?22 MN30?MH6

?MH?

MB?MC6?BC5?sin??30 ?二面角M?BC?D的正弦值为6

4、（2009河东区一模）在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，

?BAD?90?,AD//BC,AB?BC?1,AD?2,PA?底面ABCD，PD与底面成30?角。

（1）若AE?PD，E为垂足，求证：BE?PD； （2）求异面直线AE与CD所成的角的余弦值； （3）求A点到平面PCD的距离。

(1)证明：以A为原点，AB,AD,AP所在直线为坐标轴建立直角坐标系（如图）

A(0,0,0),B(1,0,0)D(0,2,0)P(0,0,则

23)3

????????23AB?PD?(1,0,0)?(0,2,?)?03

????????????????????????又AE?PD?0?AB?PD,AE?PD

????PD?面BEA 所以

BE?面BEA，?PD?BE

（2）解：?PA?面ABCD，PD与底面成30角, ??PDA?30

??sin30?1,?EAF?60 过E作EF?AD，垂足为F，则AE?AD?????131313AF?,EF??E(0,,)AE?(0,,)2222,于是22

????又C(1,1,0),D(0,2,0),CD?(?1,1,0)

??则

????????AE?CD2COS???????????4AECD

2?AE与CD所成角的余弦值为4。

??????????????（3）设V?平面PCD，则V?PD,V?CD

(x,y,z)?(0,2,?即

2323)?0?2y?z?033

(x,y,z)?(?1,1,0)?0??x?y?0

??令y?1则x?y?1,z?3y?3,V?(1,1,3)

A点到平面PCD的距离设为d,则

??????V?DA25d????5V

25即A点到平面PCD的距离设为5。

5、（2009河西区一模）如图：已知长方体正方形，高求证：

ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是边长为4的

AA1?42PCC1为的中点

的余弦值

BD?A1P求二面角

A1?PD?B解：(I)证明：连结

AC11,AC,?ABCD?A1B1C1D1是长方体，

?A1A?面ABCD

?BD?A1A 又BD?面ABCD，，又ABCD是正

方形，

?BD?AC,AC?A1A?AA1AC，即，

……3分

?BD?面 又

BD?面A1ACC1A1P?面A1ACC1?BD?A1P……6分

（II）如图，以D为原点建系，由题意的D(0,0,0)

A1(4,0,42),B(4,4,0),P(0,4,22)……6分

???????? 于是BD?(?4,?4,0),PD?(0,?4.?22),

?????AD?(?4,0,?42)n? 1，设1面BDP

?x?2???4x?47?0?)得????????4y?42?0n?(x,y,2),????y??2?n1?(2,?2,2) 不妨设1由

……8分

??????4x?82?0??x??22n2?(x,y,2),由?得????n?ADP???4y?42?0??y??2 设2面1，不妨设????n2?(?22,?2,2)

……9分

若

??n1与

???n2的夹角?，则

??????n?n2?4?2?47cos?????1??????14|n1||n2|8?14……11分

7A?PD?BA?PD?B据分析二面角1是锐角，?二面角1的余弦值是14……12分

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