（1）求f(x)的最小值s(t)；
（2）若s(t)??2t?m对t?(0,2)时恒成立，求实数m的取值范围
23?f(x)?t(x?t)?t?t?1(t?R,t?0) 解：（1）3?x??t时，f(?t)取得最小值f(x)??t?t?1， 3s(t)??t?t?1 即
3h(t)?s(t)?(?2t?m)??t?3t?1?m （2）令
由h(t)??3t?3?0，得t?1或t??1（舍去）
'2t
h'(t)
（0,1）
?
增
1
0
极大值1?m
（1,2） ? 减
h(t)
?h(t)在(0,2)内有最大值1?m，
?s(t)??2t?m对t?(0,2)时恒成立等价于h(t)?0恒成立。
即1?m?0
?m?1
3222f(x)?x?ax?ax?1,g(x)?1?4x?ax7、（2009河西区一模）已知函数，其中实数
a?0，
（I）求函数f(x)的单调区间；
（Ⅱ）若f(x)与g(x)在区间(?a,?a?2)内均为增函数，求a的取值范围。
22f'(x)?3x?2ax?a解：（I）?
aa3x2?2ax?a2?3(x?a)(x?)x1?a,x2??3令f'(x)?0，得3 又
①若a?0，则当
x??aa??x?a3或x?a时f'(x)?0。当3时，f'(x)?0
aa(?,a)(??,?)?f(x)在3和(a,??)内是增函数，在3内是减函数，
x??aaa?x??3时，f'(x)?0当3时，f'(x)?0
②若a?0.则当x?a或
aa(a,?)(?,??)?f(x)在(??,a)和33内是减函数 内是增函数，在
a24(??,?)g(x)??a(x?)2?1?,3和(a,??)内是增函数，aa（Ⅱ）当a?0时，f(x)在
故
2(??,?)g(x)在a内是增函数。
??a?0?a??a?2???3?2??a?2???a 解得a?2?3 由题意得?a2(?,??)(?,??)当a?0时，f(x)在(??,a)和3内是增函数，g(x)在a内是增函数。 ??a?0?a??a???3?2??a???a 解得a??2 由题意得?综上知实数a的取值范围为(??,?2]?[2?3,??)
3f(x)?mx?x的图象上以N（1，n）为切点的切线8、（2009十二区县联考）已知在函数
?的倾斜角为4 （Ⅰ）求m、n的值；
（Ⅱ）是否存在最小的正整数k，使得不等式f(x)?k?1994对于x???1,3?恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k；如果不存在，请说明理由； （Ⅲ）试比较|f(sinx)?f(cosx)|(x?R)与
.2f(t?1)?t?0?2t的大小。
23
?解：（Ⅰ）f(x)?3mx?1,依题意，得f(x)?∴
2tan?4?f?(1),即1?3m?1,m?231x?x,把N(1,n)代得,得n?f(1)??,33
m?∴
21,n??33 ………………3分 f?(x)?2(x?222)(x?)?0,则x??,222
（Ⅱ）令
?1?x??当
2时,f?(x)?2x2?1?0,f(x)2在此区间为增函数
?当
22?x?时,f?(x)?2x2?1?0,f(x)22在此区间为减函数
2?x?3时,f?(x)?2x2?1?0,f(x)当2在此区间为增函数
------------------5分
f(x)在x??22处取得极大值 ………………6分
12222f(?1)?,f(?)?,f()??,f(3)?1532323又
x?[?1,3]时,?因此，当
2?f(x)?15,3 …………8分
2f（x）?4x?ax2?x3??1,1?3在9、（2009天津一中3月月考）上是增函数
（1）求实数a的值组成的集合A；
1f（x）=2x?x33两非零实根为x1,x2试问：是否存在实数m使不 （2）设关于x的方程
等式
m2?tm?1?x1?x2对于任意a?A及
t???1,1?恒成立，若存在求出m取值范围，
若不存在，说明理由。
解．（1）f′(x)=4+2ax－2x2，由题意f′(x)≥0在[－1,1]上恒成立 （2分）
?f'(?1)?0??1?a?1?f'(1)?0∴?∴A=[－1,1] (5分)
1（2）方程f(x)=2x+3x3可化为x(x2－ax－2)=0
∵x1≠x2≠0, ∴x1,x2是x2－ax－2=0两根 （7分） △=a2+8>0,x1+x2=a,x1x2=-2
2 ∴|x1－x2|=a?8
∵－1≤a≤1 ∴|x1－x2|最大值是1?8?3 （10分） ∴m2+tm+1≥3在t∈[－1,1]上恒成立 令g(t)=mt+m2－2
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