七、多元函数积分学(8)

斯托克斯公式可写成

?F?dr????rotF??ndS

L0S 其中dr??dx,dy,dz?, n0??cos?,cos?,cos??

B 典型例题

（一）、用基本公式直接计算曲面积分

x2y2??z2?1的上半部分， 例1．设S为椭球面点P?x,y,z??S，?为S在点P处22的切平面，??x,y,z?为原点到?的距离，求

zds ????x,y,z?S 解：

先求出??x,y,z?，设?X,Y,Z?为?上任一点，则?的方程为 x?X?x??y?Y?y??2z?Z?z??0 即

xyX?Y?zZ?1?0 22

??x,y,z??0?0?0?1?x??y?2??????z?2??2?22?114?x2?y22

?x2y2? 由S的方程z?1???2?2??，于是

????z???z?? ds?1?????d??????x???y?224?x2?y2?xy??21????22???22d?

这样

z1dS?4?x2?y2d? ??????x,y,z?4DS?? 区域D:x?y? 所以 原式?22?2?

2212?32d?4?rrdr?? ??0042??

（二）、用高斯公式计算曲面积分 例1．计算I???Saxdydz??z?a?dxdy2x?y?z222（a?0常数）

222 其中S:z??a?x?y上侧（a?0）

解：

?x2?y2?a2 令曲面S1:?下侧

?z?0 于是S1?S为闭下半球面的内侧

设其内部区域为?，令D为xy平面上圆域x?y?a

22211?2 则I???axdydz??z?a?dxdy???????aSa??SUS1S1???? ?? ??1??1?244???3a?2zdv?adxdy??2?a?2zdv??a??????? ?????a??D??a??2?a01???a4??d??rdr?00??a? ?a2?r2zdz???a3

??2? 例2．计算I?222?x?1?dydz??y?1?dzdx??z?1?dxdy其中S是不通过点?1,1,1?的球

??S??x?1?2??y?1?2??z?1?2?32面x?y?z?R的外侧 解： 设I?2??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy通过计算可知

S?P?Q?R???0 ?x?y?z （1）当S的内部不包含点?1,1,1?时，根据高斯公式可知I?0

（2）当S的内部包含点?1,1,1?时，作曲面 S1:?x?1???y?1???z?1??a2 内侧

222 选a充分大，使S在S1的内部，于是S和S1是二连通区域?的边界曲面，现在

??P?Q?R???????x??y??z??dv?0

??? 根据高斯公式（二连通区域）

?外侧??内侧?S??????0

S1 于是I??外侧?S?????内侧?S1????外侧?222S1???

在S1?（外侧）上?x?1???y?1???z?1??a2，故积分可以化简 I??外侧??S1???x?1?dydz??y?1?dzdx??z?1?dxdy

a3222 令?是以S1?（外侧）为边界的空间区域?x?1???y?1???z?1??a2再用高斯公式 I?1a33dv?????1343??a?4? 3a3 例3．设对x?0内任意光滑有向闭曲面S都有

2x????xfxdydz?xyfxdzdx?ezdxdy?0 ??Sf?x??1，求f?x? 其中f?x?在?0,???内有一阶连续导数，且lim?x?0 解：

设?为由曲面S包围的空间区域，由题设和高斯公式得 ?????xf??x??f?x??xf?x??e?dv?0

2x?2x 由于S的任意性，可知x?0时xf??x??f?x??xf?x??e?0

即微分方程：f??x???1?1??1?f?x??e2x?x?0?

x?x?exxe?c 得出通解 f?x??x??e2x?cex2xx???0 lime?ce 由lim 则?1?x?0x?0?x 得c?1?0，c??1

exxe?1 则f?x??x??

（三）、用斯托克斯公式

???2? 例1．设F?2yi?3xj?zk，曲面S为x2?y2?z2?9的上半部，求

?I???rotF?n0ds

S??2 解：根据斯托克斯公式I??F?dr??2ydx?3xdy?zdz，其中L为S的边界曲线

LL?x2?y2?9 ?（逆时针方向）

?z?0 取L的参数方程x?3cos?，y?3sin?，z?0，?由0到2? 则I?2???9sin??d??3???9cos??d???18??27??9?

2?22?200 例2．计算I???yL2?z2dx?2z2?x2dy?3x2?y2dz，其中L是平面

?????x?y?z?2与柱面x?y?1的交线，从z轴正线看去，L为逆时针方向。

D为S在xy坐标平面上的投影， 解：记S为平面x?y?z?2上L所围成部分的上侧，

由斯托克斯公式得 I?????2y?4z?dydz???2z?6x?dzdx???2x?2y?dxdy

S ??2?4x?2y?3z?ds ??3S ??2???x?y?6?dxd yD ??12dxdy??24

D??2??z?y ??ds?1??z?x???dxdy?2?3dxdy?

?

（四）、曲面积分的应用

例．设有一高度为h?t?（t为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程

2x2?y2（设长度单位为厘米，时间单位为小时），已知体积减少的速率与侧z?h?t??h?t?面积成正比（比例系数0.9），问高度为130（厘米）的雪堆全部融化需多少时间？ 解：记V为雪堆体积，S为雪堆的侧面积，则 V?????h?t?0dzx2?y2?12h?t??h?t?z2??dxdy

?? ?h?t?01?h2?t??h?t?zdz 2?? ??4h3?t?，

S???x2?y2??1??z?x???zy?dxdy

22h2?t?2 ???x2?y2?h2?t?216x2?y21?dxdy

h2?t?12?? ?2?h?t??0h?t?2?h2?t??16r2?rdr

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