七、多元函数积分学(3)

1．求空间物体的体积

例1．求两个底半径为R的正交圆柱面所围立体的体积

答案：V?8V1?163R 3 例2．求球面x2?y2?z2?4R2和圆柱面x2?y2?2Rx?R?0?所围（包含原点那一部分）的体积

解：根据对称性可知 V?4??D4R2?x2?y2dxdy

其中D为xy平面上y? V?42Rx?x2与x轴所围平面区域用极坐标系进行计算

?2Rcos???D4R?rrdrd??4?2d??02204R2?r2rdr

32R3 ?3

32??2???1?sin?d??R??? ?3?23?2033? 例3．求曲面z?cosxcosy，z?0，x?y?

?2，x?y??2所围立体的体积。

§7．2 三重积分（数学一）

A 内容要点

（一）．三重积分的概念与性质

1．定义

设f?x,y,z?是定义在空间有界闭区域?上的有界函数，如果对任意分割?为n个小区域?v1,?v2,?,?vn且对小区域?vk?k?1,2,?,n?上任意取一点??k,?k,sk?都有

lim?f??k,?k,sk??vk

d?0k?1n存在（其中?vk又表示为小区域?vk的体积，dk为小区域?vk的直径，而d?maxdk）则

1?k?n称这个极限值为f?x,y,z?在空间区域?上的三重积分，记以数f?x,y,z?在?上是可积的。 ?上的连续函数一定是可积的。

2．基本性质

（1）

???f?x,y,z?dv。这时就称函

????kf?x,y,z?dv?k???f?x,y,z?dv（k为常数）

?? （2）

????f?x,y,z??g?x,y,z??dv????f?x,y,z?dv????g?x,y,z?dv

??? （3）

???f?x,y,z?dv????f?x,y,z?dv????f?x,y,z?dv

??1?2 其中???1??2，除公共边界外，?1与?2不重叠 （4）若f?x,y,z??g?x,y,z?，?x,y,z???，则

???f?x,y,z?dv????g?x,y,z?dv

?? （5）若m?f?x,y,z??M，?x,y,z???，则

mV????f?x,y,z?dv?MV

? 其中V为区域?的体积 （6）

???f?x,y,z?dv????f?x,y,z?dv

?? （7）积分中值定理

设f?x,y,z?在空间有界闭区域?上连续，V为?的体积，则存在??,?,s???，使得

???f?x,y,z?dv?f??,?,s?V

? 我们也把

1V???f?x,y,z?dv称为f?x,y,z?在?上的积分平均值。

?

3．对称区域上奇偶函数的积分性质

定理：设f?x,y,z?在空间有界闭区域?上连续，而?关于xy平面对称，则

???? ,若f?x,y,z?关于z是奇函数,?0 ?f?x,y,z?dv??2f?x,y,z?dv,若f?x,y,z?关于z是偶函数. ??????1 其中?1是?在xy平面上方的那一部分区域。

至于?关于yz平面对称，或?关于zx平面对称有类似的结果。

（二）．三重积分的计算方法

1．直角坐标系中三重积分化为累次积分

（1）设?是空间的有界闭区域，

?x,y,z?z1?x,y??z?z2?x,y?,?x,y??D? ??? 其中D是xy平面上的有界闭区域，

z1?x,y?,z2?x,y?在D上连续，函数f?x,y,z?在

?上连续，则

???f?x,y,z?dv???dxdy???Dz2?x,y?z1x,y?f?x,y,z?dz

（2）设???x,y,z???z??,?x,y??D?z? 其中D?z?为竖坐标为z的平面上的有界闭区域，则

z C2 Ω z C1 O y Dz??f?x,y,z?dxdy ???f?x,y,z?dv???dz??????DZ

2．柱坐标系中三重积分的计算

???f?x,y,z?dxdydz????f??cos?,?sin?,z?? d? d? dz??x

相当于把?x,y?化为极坐标??,??而z保持不变。

3．球坐标系中三重积分的计算

?co?s?x?rsin? ?y?rsin?sin?

?z?rco?s??r?0????0????? ?0???2????

???f(x,y,z)dv????f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)r??2sin?drd?d?

然后再根据?把三重积分化为关于r,?,?的累次积分。

B 典型例题

（一）、有关三重积分的计算 例1．计算

???xy?23zdxdydz，其中?由曲面z?xy，y?x，x?1，z?0所围的区

域 解：

2323xyzdxdydz?dxdyxy??????zdz ?0001xxy ??10dx?x0111561xydy??x12dx?

0428364?x2y2z2?x2y2z2 例2．计算?????a2?b2?c2??dxdydz，其中?由曲面a2?b2?c2?1所围的区域

??? 解：令x?a?sin?cos?，y?b?sin?sin?，z?c?cos?（广义球坐标）

2??1?x2y2z2?44? 则 ??????dxdydz?abcd?sin?d??d???abc ????a2b2c2?0005???

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