七、多元函数积分学(7)

设S为分块光滑曲面，f?x,y,z?在S上有定义，把曲面S任意分成n块小曲面

?S1,?S2,?,?Sn，在?Sk(1?k?n)上任取一点??k,?k,sk?，把小曲面?Sk的面积也记

以?Sk，而?表示各小块曲面直径的最大值。如果对任意分割和任意取点，下列极限皆存在且相等

lim??0?f??k?1nk,?k,sk??Sk

则称这极限值为f?x,y,z?在曲面S上的第一类曲面积分，也称对面积的曲面积分，记以

??f?x,y,z?dS

S?

2．基本计算公式

设曲面S的方程z?z?x,y?,?x,y??D，z?x,y?在D上有连续偏导数。 f?x,y,z?在S上连续，则

??f?x,y,z?dS???f?x,y,z?x,y??SD??z???z?1???????y??dxdy ?x????22 这样把第一类曲面积分化为二重积分进行计算。

（二）．第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）

1．定义

设S为分块光滑有向曲面（已指定一侧为定向)，P?x,y,z?，Q?x,y,z?，R?x,y,z?皆在S上有定义，把曲面S任意分成n个小曲面?S1,?S2,?,?Sn，而?Sk?1?k?n?在yz平面上投影的面积记以??Sk?yz，在zx平面上投影的面积记以??Sk?zx，在xy平面上投影的

面积记以??Sk?xy，又在?Sk?1?k?n?上任取一点??k,?k,sk?，令?是各小块曲面直径的最大值，考虑极限 lim??0??P??k?1nk,?k,sk???Sk?yz?Q??k,?k,sk???Sk?zx?R??k,?k,sk???Sk?xy

? 如果对任意分割，任意取点，极限值都存在并且相等，则这个极限限称为P?x,y,z?，

Q?x,y,z?，R?x,y,z?在有向曲面S上的第二类曲面积分，也称为对面积的曲面积分，记以

??P?x,y,z?dydz?Q?x,y,z?dzdx?R?x,y,z?dxdy

S 如果令F??P,Q,R?，dS??dydz,dzdx,dxdy? 则向量形式为

??F?dS

S

2．基本计算公式

如果曲面S的方程z?z?x,y?，?x,y??Dxy z?x,y?在Dxy上连续，R?x,y,z?在S上连续，则

??R?x,y,z?dxdy????R?x,y,z?x,y??dxdy

SDxy 若曲面S指定一侧的法向量与z轴正向成锐角取正号，成钝角取负号。这样把这部分曲面积分化为xy平面上的二重积分。

类似地，曲面S的方程表示为x?x?y,z?，?y,z??Dyz，则

??P?x,y,z?dydz????P?x?y,z?,y,z?dydz

SDYZ 曲面S指定一侧的法向量与x轴正向成锐角取正号，成钝角取负号，如果曲面S的方程表示为y?y?z,x?，?z,x??Dzx，则

??Q?x,y,z?dzdx????Q?x,y?z,x?,z?dzdx

SDZX 曲面S指定一侧的法向量与y轴成锐角取正号，成钝角取负号。由此可见，第二类曲

面积分用基本公式进行计算是很麻烦的。绝大多数情形都用下面的定理进行计算，但是当

P,Q,R有些为0只剩下一项或二项时，也有可能用基本公式进行计算。

（三）．两类曲面积分之间的关系

??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy????Pcos??Qcos??Rcos??dS

SS 其中cos?,cos?,cos?为曲面S在点?x,y,z?处根据定向指定一侧的法向量的三个方向余弦。

令F??P,Q,R?， n0??cos?,cos?,cos??

??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???F?ndS

0SS

（四）．高斯公式

定理1．（单连通区域）

设?是由分块光滑曲面S围成的单连通有界闭区域，P?x,y,z?,Q?x,y,z?,R?x,y,z?在

?上有连续的一阶偏导数，则

??P?Q?R???????x??y??z??dv???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy

???S （外侧） ????Pcos??Qcos??Rcos??dS

S 其中cos?,cos?,cos?为S在点?x,y,z?处的法向量的方向余弦。 定理2．（多连通区域）

设?是?n?1?连通区域，外面边界曲面S0为外侧，每一个“洞”的边界曲面

??1?k?n?为内侧，彼此不重叠，都在S0的内部。这些曲面都是分块光滑的，?是有界Sk闭区域，P?x,y,z?,Q?x,y,z?,R?x,y,z?在?上有连续的一阶偏导数，则

??P?Q?R???????x??y??z??dv???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy

???S0 （外侧） ????Pdydz?Qdzdx?Rdxdy

k?1SKn （内侧）

（五）．斯托克斯公式

定理：设L是逐段光滑有向闭曲线，S是以L为边界的分块光滑有向曲面，L的正向与S的侧（即法向量的指向）符合右手法则，函数P?x,y,z?,Q?x,y,z?,R?x,y,z?在包含S的一个空间区域内有连续的一阶偏导数，则有

?Pdx?Qdy?Rdz???LSdydzdzdxdxdy???

?x?y?zPQR ???R?Q???Q?P???P?R?????dydz??dzdx???????y?z???x??y??dxdy ?z?x?????S? 也可用第一类曲面积分

cos?? ?Pdx?Qdy?Rdz???L?xSPcos???yQcos??dS ?zR（六）．散度与旋度

讨论中有三个概念很重要，就是梯度、散度和旋度。前面我们已经讨论过梯度： 设 u?u?x,y,z?算?????????? ,,????x?y?z? gradu???

1．散度

??u?u?u?,,???u称为u的梯度。 ???x?y?z? 设F? ?P?x,y,z?,Q?x,y,z?,R?x,y,z?? 散度divF??P?Q?R?????F称为F的散度 ?x?y?z 高斯公式可写成

???divFdv???F?ndS

0?S （外侧） n0??cos?,cos?,cos??

2．旋度

设 F??P?x,y,z?,Q?x,y,z?,R?x,y,z??

i? 旋度 rotF???F??xPj??yQk? ?zR ????y??z??i???z??x?j????x??y??k

?????? 称为F的旋度。

??R?Q???P?R???Q?P?

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