七、多元函数积分学(6)

解二：我们把所给曲线积分拆成两项 I??eLxsinydx?excosydy??b?x?y?dx?axdy?I3?I4

L 在I3中，由于

?x?xecosy?esiny，故积分与路径无关 ?x?y???? 又看出dexsiny?exsinydx?excosydy 因此 I3?ex???????0,0?siny?0

?2a,0? 而在I4中，取L的参数方程x?a?acost，y?asint，t从0到? 于是 I4????absint?absintcost?absin?22202t?a3cost?a3cos2tdt

? ?????a3???2?a2b 2?2? 因此，I?I3?I4???????2?a2b?a3

2?2? 例2．计算曲线积分

xdy?ydx，其中L是以?1,0?为圆心，R??1?为半径的圆周，取22?L4x?y逆时针方向。

解：令P??yx， Q?4x2?y24x2?y2?Q?P?成立 ?x?y 当?x,y???0,0?时，

因此，不能在L的内部区域用格林公式

设法用曲线C在L的内部又包含原点在C的内部，这样在C与L围成的二连通区域内可以用格林公式

??x?cos?? 今取曲线C：? ???R?1? 2??y??sin? ?从2?到0为顺时针方向

令C与L围成区域为D（二连通区域） 根据格林公式 0???Q?P??????x??y??dxdy??LPdx?Qdy??CPdx?Qdy

?D? （逆时针） （顺时针） 于是I??Pdx?Qdy???LCPdx?Qdy???Pdx?Qdy

C （顺时针） （逆时针） 用C的参数公式代入后，得

2? I??012?2d??? 2? ［注：这里取C为上述椭圆周，最后计算最简单，如果取C为x??cos?，y??sin?的圆周，那么最后的积分就比较复杂I??2?0?2d?］ 222??4cos??sin?? 例3．设函数??y?具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分

??(y)dx?2xydy2x2?y4L的值恒为同一常数。

（I）证明：对右半平面x?0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有

???y?dx?2xydy2x2?y4C?0；

（II）求函数??y?的表达式。 （I）证如图，

设C是半平面x?0内的任一分段光滑简单闭曲线，在C上任意取定两点M，N，作围绕原点的闭曲线 根据题设可知

，同时得到另一围绕原点的闭曲线

。

?MQNRM??(y)dx?2xydy2x?y24?MQNPM??(y)dx?2xydy2x?y24?0

根据第二类曲线积分得性质，利用上式可得

?0

（II）解：设P?续偏导数。

由（I）知，曲线积分

??y?2x2?y4，Q?2xy，P,Q在单连通区域x?0内具有一阶连

2x2?y4?????dx?2xydy2x2?y4L在该区域与路径无关，故当x?0时，总有

?Q?P。 ??x?y?Q2y2x2?y4?4x?2xy?4x2y?2y5 ， ① ??222424?x2x?y2x?y???????P???y?2x2?y4?4??y?y32x2???y?????y?y4?4??y?y3 ， ② ??222424?y2x?y2x?y?????? 比较①、②两式的右端，得

????y???2y, ? 435????y?y?4??y?y?2y 由③得

2③ ④

??y???y?c，将??y?代入④得 2y5?4cy3?2y5，

所以c?0，从而??y???y2

（三）、应用

???? 例．在变力F?yzi?zxj?xyk的作用下一质点由原点沿直线到椭球面

?x2y2z2?,?,?F???1??上第一卦限的点问取何值时，作功W最大，并求M?,?,?222abcWmax。

? 解：设线段OM的参数方程x?? t，y?? t，z?? t，?0?t?1?，则F在OM上

作功 W? ??OM????F?dxi?dyj?dzk????OMyzdx?zxdy?xydz

?103??? t2dt????

用拉格朗日乘子法求条件极值。构造函数

??2?2?2? G??,?,?,??????????1?a2?b2?c2??

??????? G?2???0 （1） 2a2???0 （2） 2b????? G?????? G?2???0 （3） c2??1? G?

?2a2??2b2??2c2?0 （4）

???1?????2?????3?得3????2???1??0 （5）

2?a232 由（1）得???2?代入（5）得??，则??a，

a33 同理得??33b，??c， 333 Wmax?3?3?abc???abc ?3?9???333???作功最大，最大功为3abc a,b,c 故原点到?333?9??

§7．4 曲面积分（数学一）

A 内容要点

（一）．第一类曲面积分（对面积的曲面积分）

1．定义

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