七、多元函数积分学(4)

例3．计算

????x2?y2?z2dxdydz，其中?由曲面x2?y2?z2?z所围的区域

解：用球坐标（?的球坐标方程?2??cos?化简为??cos?）

????x?y?zdxdydz??d??d??0202222??cos?0?3sin?d?

?12??cos5???4 ?2???cos?sin?d???? ??2042?5?100? 例4．计算

????x?22?y2dxdydz，其中?由曲面x2?y2?2z，z?2所围的区域

?r2?3d??rdr?r2dz?2???2??rdr ?00?2?2?2322? 解：

????x??ydxdydz??2?2?0?r4r6?216? ?2?? ???3?212?0（二）、在物理上的应用

x2y2z2 例1．求椭圆锥面2?2?2和平面z?c围成物体的重心（设密度均匀恒为1）

abc

解：设重心坐标?x,y,z?物体所占空间区域为? 由对称性可知x?0，y?0

z????zdxdydz????dxdydz?

由锥体体积公式可知

???dxdydz???abc3

令x?arcos?，y?brsin?，z?ct 而

2zdxdy?dazbc?d??rd?rtdt ????00r2?11r(1?r2)?abc2dr? ?2?abc?

02421 因此，重心坐标x?0，y?0，z?3c 4 例2．设有一半径为R的球体，P0是球表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到P0的距离平方成正比（比例系数k?0），求球体重心的位置

解一：设球面方程为x2?y2?z2?R2，P0为?R,0,0?，球体?的重心坐标为x,y,z由对称性可知y?0，z?0

22???x?k?x?R??y?zdv2????? x????k??x?R??2?y?zdv22?

由区域的对称性和函数的奇偶性，则有 ?2R???xdv?0

?

2222xx?R?y?zdv?0 ?????? 于是

?????x?R??2?y2?z2dv????x2?y2?z2dv?R2???dv

????? ??2?0d??d??0?R04? R332?sin? d??R??? R5

31542

222??xx?R?y?zdv??2Rx??????dv

2???? ??2R82226 x?y?zdv??? R???3?15?? 因此x??R?R?，重心坐标为??,0,0? 4?4?

2 解二：设球面坐标x2?y2??z?R??R2，P0?0,0,0?，重心坐标x,y,z 由对称性可知x?0，y?0

?? z????z?k?x?2?y2?z2dv22????k?x?2?y?zdv?

???zx?y?zdv?4?2d??2d???00?222???2Rcos?0?5cos?sin? d?

648? R6?2cos7?sin? d??? R6 ?033

?????x?2?y?zdv?4?2d??2d??0022???2Rcos?0?4sin? d??32? R5 15 于是z?

55??R，重心坐标?0,0,R? 44??§7．3 曲线积分（数学一）

A 内容要点

（一）．第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）

1．定义

平面情形：设xy平面上逐段光滑曲线L上定义函数f?x,y?把曲线L任意分割为n段，

?S1,?S2,?,?Sn，在?Sk?1?k?n?上任取一点??k,?k?，如果对任意分割，任意取点，

下列极限皆存在并且相等。 lim??0?f??k?1nk,?k??Sk

（这里?Sk又表示第k段曲线的弧长，??max?Sk）

1?k?n 则称此极限值为f?x,y?在曲线L上的第一类曲线积分也称为对弧长的曲线积分，记以

?f?x,y?dS

L 如果曲线L是封闭曲线，则记以

?f?x,y?dS

L 空间情形：空间一条逐段光滑曲线L上定义函数f?x,y,z?，把曲线L任意分割为n段，

?S1,?S2,?,?Sn在?Sk?1?k?n?上任取一 点??k,?k,sk?，如果对任意分割，任意取点，

下列极限皆存在并且相等。 lim??0?f??k?1nk,?k,sk??Sk

（这里?Sk又表示第k段曲线的弧长，??max?Sk）

1?k?n 则称此极限值为f?x,y,z?在曲线L上的第一类曲线积分，也称为对弧长的曲线积分，记以

?f?x,y,z?dS

L 如果曲线L是封闭曲线，也记以

2．参数计算公式

?f?x,y,z?dS

L 我们只讨论空间情形（平面情形类似）

设空间曲线L的参数方程x?x?t?，y?y?t?，z?z?t?，???t??? 则

?Lf?x,y,z?dS??f?x?t?,y?t?,z?t???x??t????y??t????z??t??dt

222?? （假设f?x,y,z?和x??t?，y??t?，z??t?皆连续）这样把曲线积分化为定积分来进行计算。

（二）．第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）

1．定义

?，函数P?x,y?和Q?x,y?皆 平面情形：设xy平面一条逐段光滑有定向的曲线L?AB在L上有定义，把L任意分成n段?S1,?S2,?,?Sn，在?Sk?1?k?n?上起点坐标为

?xk?1,yk?1?，终点坐标为?xk,yk?（按L的定向决定起点和终点）令?xk?yk?yk?yk?1 ?1?k?n?，再在?Sk上任取一点??k,?k?，考虑极限

lim??0?xk?xk?1，

??P??k?1nk,?k??xk?Q??k,?k??yk?

其中?仍然是n段弧长中的最大值，如果对任意分割，任意取点，上述极限皆存在并且相等，则称此极限值为P?x,y?和Q?x,y?对曲线L的第二类曲线积分，也称对坐标的曲线积分，记以

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