七、多元函数积分学

七、 多元函数积分学

§7．1 二重积分

A 内容要点

（一）．二重积分的概念与性质

1．定义

设f?x,y?是定义在有界闭区域D上的有界函数，如果对任意分割D为n个小区域

??1,??2,?,??n,对小区域??k?k?1,2,?,n?上任意取一点??k,?k?都有

lim?f??k,?k???k

d?0k?1n 存在，（其中??k又表示为小区域??k的面积，dk为小区域??k的直径，而

d?maxdk）

1?k?n 则称这个极限值为f?x,y?在区域D上的二重积分 记以

??f?x,y?d?，这时就称f?x,y?在D上可积。

D 如果f?x,y?在D上是有限片上的连续函数，则f?x,y?在D上是可积的。

2．几何意义

当f?x,y?为闭区域D上的连续函数，且f?x,y??0，则二重积分

??f?x,y?d?表示

D以曲面z?f?x,y?为顶，侧面以D的边界曲线为准线，母线平行于z轴的曲顶柱体的体积。 当封闭曲面S它在xy平面上的投影区域为D，上半曲面方程为z?f2?x,y?，下半曲面方程为z?f1?x,y?，则封闭曲面S围成空间区域的体积为

???f?x,y??f?x,y??d?

21D

3．基本性质

（1）

??kf?x,y?d??k??f?x,y?d?（k为常数）

DD （2）

???f?x,y??g?x,y??d????f?x,y?d????g?x,y?d?

DDD （3）

??f?x,y?d????f?x,y?d????f?x,y?d?

DD1D2 其中D?D1UD2，除公共边界外，D1与D2不重叠。 （4）若f?x,y??g?x,y?，?x,y??D，则

??f?x,y?d????g?x,y?d?

DD （5）若m?f?x,y??M，?x,y??D，则 mS???f?x,y?d??MS

D 其中S为区域D的面积。 （6）

??f?x,y?d????f?x,y?d?

DD （7）积分中值定理 设f?x,y?在有界闭区域D上连续，S为D的面积，则存在

??,???D，使得

??f?x,y?d??f??,???S

D 我们也把

1f?x,y?d?称为f?x,y?在D上的积分平均值。 ??SD

4．对称区域上奇偶函数的积分性质

定理1．设f?x,y?在有界闭区域D上连续，若D关于x轴对称，则

??D f?x,y?对y为奇函数?0, ? f?x,y?d???2f?x,y?d?, ?? fx,y对y为偶函数????D1 其中D1为D在x轴的上半平面部分。

定理2．设f?x,y?在有界闭区域D上连续，若D关于y轴对称，则

??D f?x,y?对x为奇函数?0, ? f?x,y?d???2f?x,y?d?, ?? fx,y对x为偶函数????D2 其中D2为D在y轴的右半平面部分。

定理3．设f?x,y?在有界闭区域D上连续，若D关于原点对称，则

??D f??x,?y???f?x,y?,?x,y??D,?0, ? f?x,y?d???2f?x,y?d?, ?????? f?x,?y?fx,y,x,y?D,????D3 其中D3为D的上半平面或右半平面。

定理4．设f?x,y?在有界闭区域D上连续，若D关于直线y?x对称，则

??f?x,y?d????f?y,x?d?

DD 若D?D4?D5，D4，D5分别为D在y?x的上方与下方部分，则

??f?x,y?d????f?y,x?d?

D4D5

（二）．在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积分顺序问题

模型I：设有界闭区域D??x,y?a?x?b,?1?x??y??2?x?

??

其中?1?x?，?2?x?在?a,b?上连续，f?x,y?在D上连续。 则

??f?x,y?d????f?x,y?dxdy

DD ??dx????f?x,y?dy

a1b?2?x?x 模型II：设有界闭区域D??x,y?c?y?d,?1?y??x??2?y?

??

其中?1?y?，?2?y?在?c,d?上连续，f?x,y?在D上连续。 则

??f?x,y?d????f?x,y?dxdy

DD ??dcdy??2?y??1?y?f?x,y?dx

关于二重积分的计算主要根据模型I或模型II把二重积分化为累次积分从而进行计算，对于比较复杂的区域D，如果既不符合模型I中关于D的要求，又不符合模型II中关于D的要求，那么就需要把D分解成一些小区域，使得每一个小区域能够符合模型I或模型II中关于区域的要求，利用二重积分性质，把大区域上二重积分等于这些小区域上二重积分之和，而每个小区域上的二重积分则可以化为累次积分进行计算。

在直角坐标系中，两种不同顺序的累次积分的互相转化是一种很重要的手段，具体做法是先把给定的累次积分反过来化为二重积分，求出它的积分区域D，然后根据D再把二重积分化为另外一种顺序的累次积分。

（三）．在极坐标系中化二重积分为累次积分

在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分，也即先固定?对?进行积分，然后再对

?进行积分，由于区域D的不同类型，也有几种常用的模型。

模型：设有界闭区域D????,???????,????????????

12

其中?1???，?2???在??,??上连续，f?x,y??f??cos?,?sin??在D上连续，则

??f?x,y?d????f??cos?,?sin??? d? d?

DD ?s,?sin??? d? ??d??????f??co?1??2??? 模型I：设有界闭区域D????,??0???2?,????????????

12

其中?1???,?2???在?0,2??上连续，f?x,y??f??cos?,?sin??在D上连续，则

??f?x,y?d????f??cos?,?sin??? d? d?

DD

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库七、多元函数积分学在线全文阅读。