六年级合集 - 图文(8)

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以只有??a?4满足；?? 逐个验证k的值，“好数”对有3与6，4与12，6与12，10

?b?12与15．所以“好数”对有4个.

【例16】（难度等级 ※※※※）

甲、乙两人进行下面的游戏：两人先约定一个自然数N，然后由甲开始，轮流把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中的一个填入图28-1的某个方格中，每一方格只能填一个数字，但各方格所填的数字可以重复．当6个方格都填有数字后，就形成一个六位数．如果这个六位数能被N整除，那么乙获胜；如果这个六位数不能被N整除，那么甲获胜．设N小于15，问当N取哪几个数时．乙能取胜? 【分析与解】

当N取2，4，6，8，10，12，14这7个偶数时，当甲将某个奇数放到最右边的方格中，则这个六位数一定是奇数，奇数显然不能被偶数整除，所以此时乙无法取胜；

而当N取5时，当甲在最右边的方格内填人一个非0非5的数字时，则这个六位数一定不能被5整除，所以此时乙无法获胜： 此时还剩下1，3，7，9，11，13这6个数， 显然当N取l时，乙一定获胜；

当N取3或9时，只要数字对应是3或9的倍数时，这个六位数就能被对应的3或9整除，显然乙可以做到；

当N取7，1l或13时，只要前三位数字和与后三位数字和的差对应是7，11，13的倍数时，这个六位数就对应是7，11，13的倍数，乙可以做到．

于是，当N取1，3，7，9，11，13时，乙适当的操作能保证自己一定获胜．

【例17】（难度等级 ※※※※）

已知m，n，k为自然数，m ≥ n ≥k，n2+2-2是100的倍数,求m + n - k后的最小值．

mnk【分析与解】

方法一：首先注意到100=22×52．

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如果n=k，那么2m是100的倍数，因而是5的倍数，这是不可能的．所以n-k≥1. 2m+2n-2k=2k(2m-k+2n-k+1)被22整除,所以k≥2. 设a=m-k，b=n-k，则a≥b，且都是整数． 2a+2b-1被52整除，要求a+b+k=m+n-k的最小值．

不难看出210+21-1=1025，能被25整除，所以a+b+k的最小值小于10+l+2=13． 而且在a=10，b=1，k=2时，上式等号成立． 还需证明在a+b≤10时，2a+2b-l不可能被25整除． 有下表

a b 9 1 8 1,2 7 1,2,3 6 5 4 1,2,3,4 1,2,3,4,5 1,2,3,4 aba≤3时，2a+2b-1<8+8=16不能被52整除．其他表中情况，不难逐一检验，均不满足2+2-1被25整除的要求．

因此a+b-k即m+n-k的最小值是13．

方法二：注意到有100=2×2×5×5，4(2m+2n-2k)． 2m+2n-2k=2k(2m-k+2n-k-1)因为2m-k+2n-k-l,所以k最小为2． 还有25∣(2m-k+2n-k-1)，令m-k=x, n-k=y 则有2+2≡l(mod 25)

因为5去除2，22，23，24，25余数分别为2，4，3，1，2；余数是4个一周期.于是，x=4p+2，y=4q+1； 或者是x=4P+3，y=4Q+3． (1)x=4p+2，y=4q+1时

当x=2，y=1，于是2+2-2=24+23-22=20不是100的倍数； 当x=6，y=l，于是2+2-2=28+23-22=260不是100的倍数； 当x=10，y=l，于是2+2-2=212+23-22=4100是 l00的倍数； (2)x=4P+3，y=4Q+3

当x=3，y=3，于是2+2-2=25+25-22=60不是l00的倍数；

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mnkmnkmnkmnkxy -学 习 改 变 命 运-

当x=7，y=3，于是2+2-2=29+25-22=540不是l00的倍数：

其余的将超过(1)种情况，所以，最小为m+n-k=12+3-2=13．

mnk

【例18】（难度等级 ※※※※）

任意选取9个连续的正整数，即它们的乘积为P，最小公倍数为Q．我们知道，P除以Q所得到的商必定是自然数，那么这个商的最大可能值是多少? 【分析与解】

将9个连续的正整数作因式分解，如果某个质数是其中至少两个分解式的因子，那么次数最高的那个方幂会包含在最小公倍数Q中，而其他方幂的乘积则出现在P除以Q的商中．显然这样的质数必定小于9，只可能是2，3，5或7． 记P÷Q=R，则R的质因数必定取自2，3，5，7．

两个不同的7的倍数至少相差7，因此在9个连续正整数中，最多有两个数含有质因数7．当有两个数是7的倍数是，可能它们都不能被7×7整除，也可能其中一个数是7×7的倍数，而另一个不是．于是R的质因数分解式中7的幂次最高是1． 类似的分析，R中最多包含一个质因数5．

在9个连续的正整数中，恰有3个数是3的倍数，其中一个数能被9整除，而另一两个数仅能被3整除，因此R中所包含的质因数3的幂次必定为2．

在9个连续的正整数中，最多有5个数是偶数．此时，除去含有2的幂次最高的数外，其余的4的数含有质因数2最多的情形是：其中有2个仅为2的倍数，有1个是4的倍数，另一个是8的倍数．即R的质因数分解式中2的幂次最多是1+1+2+3=7．

综上所述，R的最大值是27×32×5×7=40320．事实上，对于9个连续正整数560，561，?，568，P除以Q所得到的商恰是40320．

【例19】（难度等级 ※※※※）

对于n个奇质数，如果其中任意奇数个数的和仍是质数，那么称这些数构成“奇妙数组”，而n就是这个数组的“阶数”．例如11，13，17就是“奇妙数组”，因为11，13，17和11+13+17=41

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都是质数．

(1)证明：“奇妙数组”的“阶数”最大值为4；

(2)对于“阶数”为4的“奇妙数组”，求这4个质数的乘积的最小值． 【分析与解】

(1)假设a、b、c、d、e能组成一个5阶“奇妙数组”，那么a、b、c、d一定可以组成一个四阶“奇妙数组”，考虑除以3的余数情况，不能存在3的数它们除以3的余数相同，并且验证只能是1，1，2，2．则e除以3不管是余0，1，2都能在这五个数中找到三个数，它们的和是3的倍数，且大于3，所以无法组成5阶“奇妙数组”．但是如97，73，4l，53满足(它们的三个数和依次为167，191，223，2ll均是质数)．所以存在最大的4阶“奇妙数组”．

(2)写出所有除以3余1的质数：7，13，19，31，37，43，61，67，73，79，97； 写出所有除以3余2的质数：(2，5)，11，17，23，29，41，47，53，59，71，83，89． 很容易知道2是不能含有，不然其他两个奇质数与2的和为大于2的偶数，显然不是质数，5也很容易验证不满足；

有7，13，11，23满足(和依次为47，4l，43，31)．它们的乘积为7×13×11×23=23023．所以4阶“奇妙数组”的4个数最小乘积为23023．

评注：四阶的“奇妙数组”还有很多，如97，13，41，53．它们的三个数和依次为107，191，163，151均是质数．

【例20】（难度等级 ※※※※）

Every whole number larger than 7 can always be expressed as a sum of 3's, 5's and both，For example, 9=3+3+3, 10=5+5 and 19=5+5+3+3+3. With the rule that 5 always comes before 3, how many ways can we express 91？ Answer : _____ 【分析与解】

每个大于7的数总能用3的倍数加上5的倍数来表达，比如，9=3+3+3，10=5+5，19=5+5+3+3+3。

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按照5总是排在3前面这个规则，请问有多少方法可以表示“91”这个数？ 答案：6 （5*17+3*2；5*14+3*7；5*11+3*12；5*8+3*17；5*5+3*22；5*2+3*27）

【作业】

1. 已知A、B、C、D、E、F六个人分别看了5、5、6、8、8、10场演出，成人的票价是儿

童票价的2倍，均为整数元，又知，门票共支出1026元；那么成人门票每张多少元？ 【答案】36元

2．如图4×3的矩形框中，每行的数字和相等，每列的数字和也相等。（行和列的数字和不一定相等），那么在“？”处应填上的式子为 。 2 4 5 3 b a ？ 【答案】

28a??b 333．黑板上写着1至2010共2010个自然数，小明每次擦掉两个奇偶性相同的数，再写上它们的平均数，最后黑板上只剩下一个自然数，这个数可能的最大值与最小值的差是_____ 【答案】2007

4．a、b、c为三个自然数，且a>b>c，它们除以13的余数分别是2，9，11，那么（a+b+c）(a-b)(b-c)除以13的余数是_______ 【答案】9

5．When 31513 and 34369 are such divided by a certain 3-digit number ，the remainders are equal . Find this remainder . Answer: . 【答案】2856

挑战自己 （难度等级 ※※※※※） 在平面上有7个点，其中任意3个点都不在同一条直线上．如果在这7个点之间连结18条线段，那么这些线段最多能构成多少个三角形? - 40 -

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