六年级合集 - 图文(6)

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这5个砝码能称出的重量种类最多是 种.（天平的左右两盘均可放砝码） 【答案】94

4．a，b是两个自然数，对它们的描述有这样的四句话：（1）a+1能被b整除；（2）a=2b+5；（3）a+b能被3整除；（4）a+7b是质数。不过这四句话中恰有三句话是正确的，恰有一句话是错误的，那么a的所有可能的值是________ 【答案】9，17

5．电子跳蚤游戏盘（如下图）为△ABC，AB=8，AC=9，BC=10，如果电子跳蚤开始时在BC边上P0点，BP0=4。第一步跳蚤跳到AC边上的P1点，且CP1=CP0；第二步跳蚤从P1跳到AB边上的P2点，且AP2=AP1；第三步跳蚤从P2跳回到AC边上的P3点，且BP3=BP2；??跳蚤按上述规则跳下去，第2001次落点为P2001，请计算P0与P2001之间的距离。 【答案】1

挑战自己 （难度等级 ※※※※※） 用若干个l×6和l×7的小长方形既不重叠，也不留孔隙地拼成一个11×12的大长方形，最少要用小长方形多少个? 【答案】20个．

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第三讲 数论综合（三）

【专题知识点概述】

数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。

【授课批注】 具有相当难度，需要灵活运用各种知识，或与其他方面内容相综合的数论同题．

【习题精讲】

【例1】（难度等级 ※※※）

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己知五个数依次是13，12， 15， 25，20它们每相邻的两个数相乘得四个数，这四个数每相邻的两个数相乘得三个数，这三个数每相邻的两个数相乘得两个数，这两个数相乘得一个数。请问最后这个数从个位起向左数、可以连续地数到几个0？

【分析与解】

对一般的几个整数的乘积，如果要确定它后面有几个0. 可以用这样的办法：把每个乘数分解质因数，把分解中2的重数加起来，5的重数也加起来，看哪一个小，哪一个就是乘积尾部0的个数。这是因为10＝2×5，所以乘积尾部有个0，质因数2和5的重数就至少是几。

我们可以分别计算质因数2和5的重数。为此我们画两个图

图中的数字是这样填的：以2的重数为例，第一行第一个数13不含因数2，在这个位臵填0，第二个数12含2重因数2（12=2×2×3），在这个位臵填2，等等。下面各行各数都是肩上两数的和（因为乘积的因数2的重数等于各乘数的因数2的重数的和）。

这样我们就把原图中每个圈中数的质因数分解中的2的重数和5的重数分别标在左图和右图中了。特别地，最下面一个数的质因数分解中2的重数是10，5的重数是15，所以它尾部应该有10个0。

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【例2】（难度等级 ※※※）

有4个不同的自然数，它们当中任意2个数的和是2的倍数，任意3个数的和是3的倍数．为了使得这4个数的和尽可能地小，这4个数分别是多少? 【分析与解】

由“4个不同的自然数当中任意2个数的和是2的倍数”知这4个数同奇同偶．

又由“4个不同的自然数当中任意3个数的和是3的倍数’’知这4个数同余于3，即除以3都余l或2或0．

当第一个数为1时，剩下的数只能是奇数，并且除以3的余数都是l，所以依次为1，7，13，19．

当第一个数为2时，剩下的数应均是偶数，并且除以3的余数都是2，显然这种情况的四个数对应的都比第一种情况下的4个数大．

所以满足条件且和最小的4个数依次为l，7，13．19．

【例3】（难度等级 ※※※※）

将数字4,5,6,7,8,9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，这个6位数除以667的结果是 ． 【分析与解】

因为4?5?6?7?8?9?39是3的倍数

所以此六位数是3和667的公倍数，且3×667=2001，所以此六位数是2001的倍数 我们发现六位数中2001倍数的特征为：前三位是后三位的2倍。 所以下面将六位数分成2段，根据倍数关系验证即可，结果为956478.

【例4】（难度等级 ※※※※）

在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个? 【分析与解】

这个数奇数位的数字和与偶数位的数字和的差d是11的倍数,而它们的数字和是奇数13，因此，d只能是11的奇数倍．

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又这数至多四位，所以奇数位数字和与偶数位数字和都小于9，即小于18,所以d=11，奇、偶数位的数字和为12，1或l，12，因此，这个数至少是三位数，如果是三位数，那么它可以是913，814，715，616，517，418，319这7个．

如果是四位数，那么它可以是1903，1804，1705，1606，1507，1408，1309．3190,3091，4180，4081．

这样，共有7+4+7=18个满足条件的数．

【例5】（难度等级 ※※※※※）

从1,2,3,……n中，任取57个数，使这57个数必有两个数的差为13，则n的最大值为_______。 【分析与解】

被13除的同余序列当中,如余1的同余序列， 1,14,27,40,53,66?，中只要取到两个相邻的，这两个数的差为13，如果没有两个相邻的数，则没有两个数的差为13，不同的同余序列当中不可能有两个数的差为13，对于任意一条长度为x的序列，都最多能取x???个

2数，即从第1个数起隔1个取1个基于以上，n个数分成13个序列，每条序列的长度为??x????n??13??或??n??1，两个长度差为1的序列，能够被取得的数的个数也不会超过1，所以能使57??13?个数任意两个数都不等于13，则这57个数被分配在13条序列中，当n取最小值时在每条序列被分配的数的个数差不会超过那么13个序列有8个分配了4个数，5个分配了5个数，这13个序列8个长度为8，5个长度为9，那么n=8×8+9×5=109,所以要使57个数必有两个数的差为13，那么n的最大值为108。

【例6】（难度等级 ※※※※）

一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数。已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7。如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数，求原来

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