六年级合集 - 图文

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第一讲 数论综合（一）

【专题知识点概述】

在近几年的北京重点中学小升初分班考试中，数论题目的分值大都超过了行程问题，占据了考试内容最显著的地位！数论题目灵活多变，能较充分考察你思维的开拓性、方法技巧的综合运用能力、创新及细心程度，易于分开学生层次。数论问题按知识体系大体可分为：整除问题、余数问题、奇偶问题、质数合数、约数倍数，这几大板块我们在之前的学习中已经都接触过了，但它们并不是数论的全部，细心的你会发现在数论这个大家族中还有一些“特别身影”，它们也是帮你解决数论问题的法宝。比如最大最小问题、关于取整运算、尾数问题、二进制应用、一些特殊变形问题等。

【授课批注】 涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题．

【习题精讲】

【例1】（难度等级 ※※※）

从1开始由小到大按顺序取自然数，第一次取一个数，第二次取两个数，第三次取三个数，以后继续按照每次取一个、两个、三个的方式重复进行，第（ ）次取的数之和为573。 【分析与解】

573/3=191 所以三个数分别是190、191、192

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因为3次是取6个数，我们用192÷6=32

那么也就是说，192是32个3次，就是取到192是96次。

【例2】（难度等级 ※※※）

小明写自然数从1到N，所写下的数字之和是28035，则N=？ 【分析与解】 解法一

000 001 002 003 004 005 006 007 008 009 010 011 012 013 014 015 016 017 018 019 ... ...

990 991 992 993 994 995 996 997 998 999 共有1000个数字. 个位的1有100个 个位的2有100个 个位的3有100个 ...

个位珠9有100个

同理.十位的1、2、3、??9分别有100 百位的1、2、3、??9有100 所以1至999各位数的和是 （1+2+3+??+9）*100*3=13500

1000到1999的个位、十位、百位数的和也是（1+2+3+??+9）*100*3=13500 千位有1000个1，他们的和是1000。

还有2000，2001，2002，2003，2004，2005，2006各位数字的和是35 全部相加是13500+13500+1000+35=28035 解法二:

（0、1999），（1、1998），（3，1997）??（999，1000）。 这样配共1000对。每对的和都有1+9+9+9=28

另外2000，2001，2002，2003，2004，2005，2006各位数字的和是35

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所以(1+9+9+9)*1000+35=28035

【例3】（难度等级 ※※※）

从1到1001的所有自然数按格式排列，用一个正方形框子框出九个数，要使这九个数的和等于（1）1995，（2）2529，（3）1998问能

否办到？若能办到，请你写出正方形框里的最大数和最小数。 【分析与解】

用一个正方形框子框出的9个数的和必定是框子中间的数的9倍。 (1)因为1995不是9的倍数，所以9个数的和为1995不可能。 (2)2529÷9=281

又281÷7=40……余1即281在所有数的排列中，它排在左边第一列上，所以不可能以它为中心构成一个9个数的正方形框。 (3)1998÷9=222 222÷7=31……余5 框中最大数是222+1+7=230 框中最小数是222-1-7=214

【例4】（难度等级 ※※※）

如果四个两位质数a，b，c，d两两不同，并且满足，等式a+b=c+d．那么， (1)a+b的最小可能值是多少? (2)a+b的最大可能值是多少? 【分析与解】

两位的质数有11，13，17，19，23，29，3l，37，41，43，47，53，59，6l， 67，71，73，79，83，89，97．

可得出，最小为11+19=13+17=30，最大为97+71=89+79=168． 所以满足条件的a+b最小可能值为30，最大可能值为168．

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【例5】（难度等级 ※※※※）

如果某整数同时具备如下3条性质： ①这个数与1的差是质数； ②这个数除以2所得的商也是质数； ③这个数除以9所得的余数是5．

那么我们称这个整数为幸运数．求出所有的两位幸运数． 【分析与解】

条件①也就是这个数与1的差是2或奇数，这个数只能是3或者偶数，再根据条件③，除以9余5，在两位的偶数中只有14，32，50，68，86这5个数满足条件． 其中86与50不符合①，32与68不符合②，三个条件都符合的只有14． 所以两位幸运数只有14．

【例6】（难度等级 ※※※）

图中两个圆只有一个公共点A，大圆直径48厘米，小圆直径30厘米．两只甲虫同时从A出发，按箭头所指的方向以相同的速度分别爬了几圈时，两只甲虫首次相距最远? 【分析与解】

圆内的任意两点，以直径两端点得距离最远．如果沿小圆爬行的甲虫爬到A点，沿大圆爬行的甲虫恰好爬到B点，两甲虫的距离便最远． 小圆周长为?×30=307r，大圆周长为48 120． 120÷30=4．120÷24=5．

所以小圆上甲虫爬了4圈时，大圆上甲虫爬了5个B．这时两只甲虫相距最远．

?，一半便是24 ?，30与24的最小公倍数时

1圆周长，即爬到了过A的直径另一点2- 4 -

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【例7】（难度等级 ※※※）

有8个盒子，各盒内分别装有奶糖9，17，24，28，30，31，33，44块．甲先取走一盒，其余各盒被乙、丙、丁3人所取走．已知乙、丙取到的糖的块数相同且为丁的2倍．问：甲取走的一盒中有多少块奶糖? 【分析与解】

我们知道乙、丙、丁三人取走的七盒中，糖的块数是丁所取糖块数的5倍． 八盒糖总块数为9+17+24+28+30+31+33+44=216． 从216减去5的倍数，所得差的个位数字只能是1或6．

观察各盒糖的块数发现，没有个位数字是6的，只有一个个位数字是1的数31． 因此甲取走的一盒中有3l块奶糖．

【例8】（难度等级 ※※※※）

用a，b，c，d，e分别代表五进制中五个互不相同的数字，如果(ade)5，(adc)5，(aad)5是由小到大排列的连续正整数，那么(cde)5所表示的整数写成十进制的表示是多少? 【分析与解】

注意(adc)5+(1)5=(aab)5，第二位改变了，也就是说求和过程个位有进位，则b=0，而c=(10)5－(1)5=(4)5，则C=4．

而(ade)5+(1)5=(adc)5，所以e+1=c，则e=3． 又d+1=口，所以d=1，a=2．

那么，(cde)5为(413)5=4×5+1×5+3=108． 即(cde)5所表示的整数写成十进制的表示是108．

2【例9】（难度等级 ※※※）

将自然数按从小到大的顺序排列成螺旋形，2处拐一个弯，在3处拐

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