六年级合集 - 图文(3)

-学 习 改 变 命 运-

在一个国家里，国王要建N个城市，在城市之间建N-1条道路，使得从每个城市都能到达另一个城市(每条道路连接两个城市，道路不相交，不穿过其它城市)且一个城市到另一个城市最短路线分别为1,2,3,…，到? 【分析与解】

（1）N=6时，可以按如下的方法设计道路。

设A,B,C,D,E,F为六个城市，从C引出三条道路，分别通向A,B,D，长度分别为1，2，5。从D再引出两条道路，分别通向E,F，长度分别为4，8。此时即可满足要求，所以N=6时，国王的要求可以办到。

（2）根据在N个城市之间建N-1条道路可知，从一个城市到另一个城市只有唯一的路线。 把城市A染成红色，若城市B与A之间的路程为偶数，则B也染上红色，否则染上黄色，这样可以把所有城市均染成红色或黄色，并且两城市同色时，它们之间的路程为偶数，否则它们之间的路程为奇数。

设有x个城市染成红色，y个城市染成黄色，则由一个红色城市与一个黄色城市配对可配成xy 对，所以在所有的路程中有xy个奇数。 若

N(N?1)。若(1) N＝6；(2) N＝2006； 国王的要求能否办2N(N?1)N(N?1)1是偶数，则1,2,3，?，中有一半是奇数，所以有xy=N(N-1)。

422222又因为x+y=N，则N=N-4xy=(x+y)-4xy=(x-y)。

N(N?1)N(N?1)11是奇数，则1,2,3，?，中有[N(N-1)+1]个奇数，所以有

22221111222xy=[N(N-1)+1]=N(N-1)+。又因为x+y=N，则N=N-4xy+2=(x+y)-4xy=(x-y)+2

2242若

，即N-2=(x-y)。

因此，如果题目中的要求可以实现，则N或N-2是完全平方数，由于2006和2004都不是完全平方数，所以国王的要求不能办到。

2【例19】（难度等级 ※※※※）

有13个不同自然数，它们的和是100．问其中偶数最多有多少个?最少有多少个? 【分析与解】

- 11 -

-学 习 改 变 命 运-

13个整数的和为100，即偶数，那么奇数个数一定为偶数个，则奇数最少为2个，最多为12个；对应的偶数最多有11个，最少有1个． 但是我们必须验证看是否有实例符合．

当有11个不同的偶数，2个不同的奇数时，11个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22＝132，而2个不同的奇数和最小为1+3＝4，它们的和最小为132+4＝136，显然不满足；

当有9个不同的偶数，4个不同的奇数时，9个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18＝90，而4个不同的奇数和最小为1+3+5+7＝16，还是大于100，仍然不满足；

当有7个不同的偶数，6个不同的奇数时，7个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14＝56，6个不同的奇数和为1+3+5+7+9+11＝36，满足，如2，4，6，8，10，12，22，1，3，5，7，9，11的和即为100．

类似的可知，最少有5个不同的偶数，8个不同的奇数，有2，4，8，10，16，1，3，5，7，9，11，13，15满足．

所以，满足题意的13个数中，偶数最多有7个，最少有5个．

【例20】（难度等级 ※※※※）

图中，第1行将1到100的自然数依从小到大排列；第2行有99个自然数，第1个是第1行第1个自然数和第2个自然数的和，……, 第k个是第1行第k个自然数和第k+1个自然数的和，? ； 从第2行起，根据第2行的规律排列，一直到第100行. 请问：图中一共有多少个自然数能被77整除.

第1行 1 2 3 4 5……………………………..96 97 98 99 100 第2行 3 5 7 9……………………………….. 193 195 197 199 第3行 8 12 16…………………………………….. 388 392 396 第4行 …………………………………………………………….. 第5行 ………………………………………………………. - 12 -

-学 习 改 变 命 运-

【分析与解】

规律是：第3、5、7、??99行的整数是第1行某个整数的4k倍，第2、4、??100行的整数是第2行某个整数的4k倍。

【作业】

1．设A共有9个不同的约数，B共有6个不同的约数，C共有8个不同的约数，这三个数中的任何两个都不整除，则这三个数之积的最小值是多少？ 【答案】17280

2．有一列数，第一个数是100，第二个数是76，从第三个数起，每个数都是前面两个数的平均数，那么第2009个数的整数部分是 。 【答案】84.

3．若自然数n使得竖式加法n＋（n＋1）＋（n＋2）不产生进位现象，便称n为“跃进数”。例如12是“跃进数”，因为12＋13＋14做竖式加法不产生进位现象；而13不是“跃进数”。那么不超过1000的“跃进数”共有 个。 【答案】49

4．讲1到101写在黑板上，得到12345678910111213……100101，先删去这个数中从左到右数所有位于奇数位上的数字，再删去所得的数中所有位于奇数位上的数字，…….，依次类推，那么最后删去的数字是______ 【答案】6

5．有一路公共汽车，包括起点和终点站在内，共有15个车站。如果有一辆车，除终点站外，每一站上车的乘客中，恰好各有一位乘客从这一站到以后的每一站。为了使每位乘客都有座位，问这辆公共汽车至少要有多少个座位？ 【答案】56

挑战自己 （难度等级 ※※※※） 一位老师告诉A、B、C、D、E五位学生一个三位数N之后，有以下的对话出现：学生- 13 - -学 习 改 变 命 运-

A：这个数可以被27整除；学生B：这个数可以被12整除；学生C：这个三位数的所有

数字和为15；学生D：这个数是一个完全平方数；学生E：这个数可以整除648 000．上述五个句子中，只有三句是真的。试求N。

【答案】324，108，216，432，864，540，900，144，576．

第二讲 数论综合（二）

【专题知识点概述】

在整个数学领域，数论被当之无愧的誉为“数学皇后”。翻开任何一本数学辅导书，数论的题型都占据了显著的位臵。在小学各类数学竞赛和小升初考试中，我们系统研究发现，直接运用数论知识解题的题目分值大概占据整张试卷总分的30%左右，而在竞赛的决赛试题和小升初一类中学的分班测试题中，这一分值比例还将更高。

- 14 -

-学 习 改 变 命 运-

【授课批注】 具有相当难度，需要灵活运用各种整数知识，或与其他方面内容相综合的数论同题．

【习题精讲】

【例1】（难度等级 ※※※）

一台计算器大部分按键失灵，只有数字“7”和“0”以及加法键“+”尚能使用，因此可以输入77，707这样只含数字7和0的数，并且进行加法运算．为了显示出222222， 最少要按“7”键多少次? 【分析与解】

222222÷7＝31746，即222222＝70000×3+7000×1+700×7+70×4+7×6，而70000，7000，700，70，7均只用按一次7，所以222222最少只用按3+1+7+4+6＝21次“7”键即可显示．

【例2】（难度等级 ※※）

有一批图书总数在1000本以内，若按24本书包成一捆，则最后一捆差2本；若按28本书包成一捆，最后一捆还是差2本书；若按32本包一捆，则最后一捆是30本．那么这批图书共有 本． 【分析与解】

经分析发现，原书的本书如果多2本，那么原来书的数目就会同时是24，28，32的倍数，而，[24,28,32]=672，且原书的本书不超过1000本，所以原来的书有672-2=670(本)

【例3】（难度等级 ※※※）

一个五位数恰好等于它各位数字和的2007倍，则这个五位数是 . 【分析与解】

这个五位数等于各位数字之和乘以2007，2007是3，3，223，三个数字之积，所以这个五位数是9的倍数，各位数字之和也是9的倍数（一个数是9的倍数，那么它的各位数字之

- 15 -

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库六年级合集 - 图文(3)在线全文阅读。