六年级合集 - 图文(5)

-学 习 改 变 命 运-

为60的约数，不妨设a＞b．

第一种情况:当a=60时，b可取60外的任何一个数，即可取11个值，于是a－b可取11种不同的值：59，58，57，56，55，54，50，48，45，40，30；

第二种情况: 当a=30时，b可取4，12，20，于是a－b可取26，18，10； 第三种情况：当a=20时，b可取3，6，12，15，所以a－b可取17，14，8，5； 第四种情况：当a=15时，b可取4，12，所以a－b可取11，3； 第五种情况：当a=12时，b可取5，10，所以a－b可取7，2． 总之，a－b可以有11+3+4+2+2=22种不同的值．

【例13】（难度等级 ※※※※）

将自然数N接写在任意一个自然数的右面，如果得到的新数都能被N整除，那么N称为“魔术数”．问小于1996的自然数中有多少个“魔术数”? 【分析与解】

当这个“魔术数”为一位数时，设为a，则将a写到任意一个自然数A的右边得到的新的自然数为10A+a，要求10A+a能被a整除，只用10A能被a整除，而A是任意选择的，所以a应是10的约数，有a可以为5，2，1．

类似的分析知，两位数的魔术数应是100的约数，即可以为50，25，20．10． 三位的魔术数应是1000的约数，即可以为500，250，200，125，100． 四位的魔术数应是10000的约数，即可以为5000，2500，2000，1250．1000．

于是小于1996的魔术数有1，2，5，10，20，25，50，100，125，200，250，500, 1000, 1250这14个数．

【例14】（难度等级 ※※※※）

圆周上放有N枚棋子，如图28-2所示，B点的那枚棋子紧邻A点的棋子．小洪首先拿走B点处的1枚棋子，然后沿顺时针方向每隔1枚拿走2枚棋子，这样连续转了10周，9次越过A．当将要第10次越过A处棋子取走其他棋子时，小洪发现圆周上余下20多枚棋子．若N是14的倍数，请精确算出圆周上现在还有多少枚棋子?

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【分析与解】

设圆周上余a枚棋子，从第9次越过A处拿走2枚棋子到第10次将要越过A处棋子时，小洪拿了2a枚棋子，所以在第9次将要越过A处棋子时，圆周上有3a枚棋子． ． 依次类推，在第8次将要越过A处棋子时，圆周上有32a枚棋子，?，在第1次将要越过A处棋子时，圆周上有3a枚棋子，在第1次将要越过A处棋子之间，小洪拿走了2(3a-1)+枚棋子，所以N=2(3a-1)+1+3a=310a-1．

N=310a-1=59049a-l是14的倍数，N是2和7的公倍数，所以a必须是奇数；又N=(7×8435+4) a-1=7×8435a+4a-1，所以4a-1必须是7的倍数．

当a=21，25，27，29时，4a-1不是7的倍数，当a=23时，4a-1=91=7×13,是7的倍数． 所以．圆周上还有23枚棋子．

9999【例15】（难度等级 ※※※※）

老师在黑板上依次写了三个数21、7、8，现在进行如下的操作，每次将这三个数中的某些数加上2，其他数减去1，试问能否经过若干次这样的操作后，使得： (1)三个数都变成12？ (2)三个数变成23、15、19？ 【分析与解】

如果两个数都加上2，那么它们的差不变；如果两个数都减去1，那么它们的差也不变； 如果一个数加上2，一个数减去1，那么它们的差增大或减小3．所以，不管怎样，它们的差增大或减小3的倍数．也就是说，不管怎么操作，这两个数的差除以3的余数是不变的． 21与7的差除以3的余数为2；21与8的差除以3的余数为1；7与8的差除以3的余数为1．

（1)三个数都变成12，那么它们的差除以3的余数都是0，显然与开始给出的三个数之间差的余数有变化，所以不满足；

(2)三个数变成23、15、19，它们之间差除以3的余数依次为： 23与15的差除以3的余数为2； 23与19的差除以3的余数为1；

15与19的差除以3的余数为1．也就是说与开始给出的三个数之间差的余数没变化，所以

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满足．

【例16】（难度等级 ※※※※）

大于0的自然数n小于100，并且满足等式?????????n，其中?x?表示不超过x

236的最大整数，这样的自然数n有多少个？ 【分析与解】

定义新运算。首先理解好新的定义，翻译成数学语言即为 [x] ≤x，且为整数。范围大的题目，观察已知条件，寻找切入点。题目中算式为同学熟悉的变形，

?n??n??n???????nnn???n，结合236[x] ≤x，则可知2|n， 3|n， 6|n，即n是6的倍数，总共有16个。

【例17】（难度等级 ※※※※）

在11张卡片上各写有一个不超过5的数字，将这些卡片排成一行，得到一个11位数；再将它们按另一种顺序排成一行，又得到一个11位数.请证明这两个11位数的和的十进制表达式中至少有一位数字是偶数。 【分析与解】

如果在求和时发生进位现象，那么这只有在两个11位数的同一位数字都是5时才有可能成立，而在出现进位的最右面的位臵上，和数的该位数字一定为0。如果在求和时不发生进位现象，那么只有在卡片上奇数个数与偶数个数相同时，和数的各位数字才为奇数，所以不可能出现这种情况，所以和数中至少有一位数字是偶数。

【例18】（难度等级 ※※※※）

对于两个不同的整数，如果它们的积能被和整除，就称为一对“好数”，例如70与30。那么在1，2，……，16这16个整数中，有好数多少对？ 【分析与解】

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由题意不难发现，符合要求的两个数必定要有公约数。

于是，设两数分别为mk、nk，则：mk×nk÷(m+n)k=m×n×k÷(m+n)， 由此可知，要整除，k必须等于m+n，或者nk等于m+n。 这样，可以得到：1×3、2×3为一组，即3、6； 1×4、3×4为一组，即4、12； 2×5、3×5为一组，即10、15； 2×3、4×3为一组，即6、12。

所以，在1，2，......，16这16个整数中，有好数4对。

【例19】（难度等级 ※※※※）

A＝1998×1998×1998……×1998(1998个1998)，A的各位数字之和是B，B的各位数字之和是C，C的各位数字之和是D，求D。 【分析与解】

先估算A的位数，因为1998＜10000，而50个10000连乘，共有4×50＋1＝201（位），所以A的位数不会超过201位，且每位上的数字不会超过9，于是9×201＝1809.

由于B＜1809，则B最多是4位数，且首位不超过1，从而C不超过1＋9＋9＋9＝28.因此推知：它最多是三位数，且首位不超过2，则D＜2＋9＝11.又A是9的倍数，所以B、C、D是9的倍数，且D不等于0，所以D为9.

【例20】（难度等级 ※※※※※）

将1，2，3，…，49，50任意分成10组，每组5个数．在每一组中，数值居中的那个数称为“中位数”．求这10个中位数之和的最大值与最小值． 【分析与解】

设10个“居中数”从小到大是a1，a2，a3，…，a9，a10，它们所代表得那一组数分别为第一组，第二组，第三组，…，第九组，第十组．

a1比第一组中两个数大，所以a1≥3，a2比第二组中两个数大，又比第一组得前3个数大，所以a2≥6，依次类推，a10比第十组中两个数大，又比前九组中，每组得前3个数大，所以a10≥30．

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因此，居中和S≥3+6+…+30＝165 …………………………………………………① 另一方面，a10比第十组中两个数小，所以a10≤50－2＝48．a9比第九组中两个数小，又比第十组得后3个数小，所以a9≤50－5＝45．依次类推，a1比第一组中两个数小，又比后九组中，每一组得后3个数小，所以a1≤50－9×3－2＝21．

因此，居中和S≤48+45+…+21＝345 ………………………………………………② ①、②中的等号都可以成立，例如分组：

(1，2，3，49，50)，(4，5，6，47，48)，(7，8，9，45，46)，(10，11，12，43，44)，(13，14，15，41，42)，(16，17，18，39，40)，(19，20，21，37，38)，(22，23，24，35，36)，(25，26，27，33，34)，(28，29，30，31，32) ．居中数的和为3+6+9+12+15+…+27+30＝165，这是最小的居中和； 又如分组：

(50，49，48，1，2) ，(47，46，45，3，4)，(44，43，42，5，6)，(41，40，39，7，8)，(38，37，36，9，10)，(35，34，33，11，12)，(32，31，30，13，14)，(29，28，27，15，16)，(26，25，24，17，18)，(23，22，21，19，20)．居中数的和为21+24+27+30+33+…+45+48＝345，这是最大的居中和．

所以，最大的居中和为345，最小的居中和为165．

【作业】

1.如果一个五位数，它的各位数字乘积恰好是它的各位数字和的25倍．那么，这个五位数的最大值是 ． 【答案】75531

2.在算式(A□B)△(C○D)中，□,△,○代表的是三个互不相同的四则运算符号（即加、减、乘、除），A,B,C,D是4个互不相同的非零阿拉伯数字．如果无论□,△,○具体代表的是哪三个互不相同的四则运算符号，(A□B)△(C○D)的计算结果都是整数．那么，四位数ABCD是 ． 【答案】9321

3.给你一架天平和两个砝码，这两个砝码分别重50克和100克，如果再添上3个砝码，则

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