2009年高三一轮复习全套教案(4)

六、解答平衡问题时常用的数学方法

目的要求：

进一步学会利用平衡条件求解物理问题，培养学生运用数学工具解决物理问题的能力。

知识要点：

根据平衡条件解答平衡问题，往往要进行一定的数学运算才能求得结果，在选择数学方法可针对如下几种情况进行：

1、物体受三力作用而平衡，且三力成一定的夹角，一般将三力平衡化为二力平衡，对应数学方法：

（1）正弦定理：如图6-1所示，则有F1/sinα=F2/sinβ=F3/sinγ

（2）三角形相似：这种方法应用广泛，具体应用时先画出力的三角形，再寻找与力的三角形相似的空间三角形，（即具有物理意义的三角形和具有几何意义的三角形相似）由相似三角形建立比例关系求解。

2、多力合成时为了便于计算，往往把这些力先正交分解，根据：

∑FX=0

∑FY=0 求解。

3、动态平衡问题：所谓动态平衡问题是指通过控制某些变量，使物体发生缓慢的变化，而这个过程中物体始终处于平衡状态。通常有两种方法分析动态平衡问题：解析法和图象法。

解析法：对研究对象形的任一状态进行受力分析，建立平衡方程，求出因变量与自变量的一般函数关系，然后根据自变量变化情况而确定因变量的变化情况。

图象法：对研究对象在状态变化过程中的若干状态进行受力分析，依据某一参量的变化，在同一图中作出若干状态下的平衡图，再由边角变化关系确定某些力的大小及方向的变化情况。（要求学生熟练运用它）**

解答物理问题，往往要进行一定的数学运算才能求得结果，有时数学方法选择合适与否对快速解答出物理问题显得相当重要。研究物理平衡问题中，遇上物体受三力作用而平衡，且三力成一定的夹角时，一般可以化三力平衡为二力平衡，其中涉及到力的三角形。如果能找出一个几何意义的三角形与这个具有物理意义的三角形相似时，可以快速利用相似三角形对应边成比例的规律建立比例关系式。可以避免采用正交分解法解平衡问题时对角度（力的方向）的要求．

例题分析

例1，如图1所示，小圆环重G，固定的竖直大环的半径为R。轻弹簧原长为L（L<2R）其倔强系数为K，接触面光滑，求小环静止弹簧与竖直方向的夹角θ？

解析：选取小球为研究对象并对它进行受力分析。

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受力分析时要注意讨论弹簧 对小球的弹力方向（弹簧是 被拉长还是被压缩了）和大 环对小环的弹力方向（指向 圆心还是背离圆心）的可能 性。受力图示如图2所示。

△ACD（力）∽△ACO（几何）

G/R=T/2Rcosθ

T=K（2Rcosθ-L）解得θ=arcos[KL/2（KR-G）]

例2、如图3所示，一轻杆两端固结两个小球A、B，mA=4mB，跨过定滑轮连接A、B的轻绳长为L，求平衡时OA、OB分别为多长？ 解析：采用隔离法分别以小球A、B 为研究对象并对它们进行受力分析 （如图4所示）可以看出如果用正交 分解法列方程求解时要已知各力的方 向，求解麻烦。此时采用相似三角形 法就相当简单。

解析：△AOE（力）∽△AOC（几何）T是绳子对小球的拉力

4mg/T=x/L1——（1）

△BPQ（力）∽△OCB（几何） mg/T=X/L2——（2） 由（1）（2）解得：L1=L/5；L2=4L/5 例3、如图5所示，轻绳长为 L，A端固定在天花板上，B端系一 个重量为G的小球，小球静止在固 定的半径为R的光滑球面上，小球 的悬点在球心正上方距离球面最小 距离为h，则轻绳对小球的拉力和 半球体对小球的支持力分别是多大？

解析：由图6可知：

△BCD∽△AOB G/（R+h）=N/R=T/L N=GR/（R+h） T=GL/（R+h）

可见：解答平衡问题时除了用到正 交分解法外，有时巧用“相似三角形” 法，可以提高解题速度和提高解题的 准确度。

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七、利用整体法和隔离法求解平衡问题

目的要求

复习整体法和隔离法求解平衡问题。

知识要点：

选择研究对象是解决物理问题的首要环节。在很多物理问题中，研究对象的选择方案是多样的。研究对象的选择方法不同会影响求解的繁简程度。对于连结体问题，如果能够运用整体法，我们优先采用整体法，这样涉及的研究对象少，未知量少，方程少，求解简便；不计物体间相互作用的内力，或物体系内的物体的运动状态相同，一般首先考虑整体法，对于大多数动力学问题，单纯采用整体法并不一定能解决，通常采用整体法和隔离法相结合的方法。

隔离法：物体之间总是相互作用的，为了使研究的问题得到简化，常将研究对象从相互作用的物体中隔离出来，而其它物体对研究对象的影响一律以力来表示的研究方法叫隔离法。

整体法：在研究连接体一类的问题时，常把几个相互作用的物体作为一个整体看成一个研究对象的方法叫整体法。

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例题分析：

例1、如图7-1所示，两个完全相同重为G的球，两球与水平面间的动摩擦因数都是μ，一根轻绳两端固结在两个球上，在绳的中点施一个竖直向上的拉力，当绳被拉直后，两段绳间的夹角为θ。问当F至少多大时，两球将发生滑动？提示：结合整体法和隔离法列平衡方程可很快求解

例2、有一个直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙，OB竖直向下，表面光滑，AO

上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质均为m，两环间由一根质量可忽略不计、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡（如图7-2所示）现将P环向左移动一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力N和细绳上的拉力T的变化情况是：（ ）提示：利用隔离法分别分析Q和P列平衡方程求解。

A、N不变；T变大 B、N不变；T变小 C、N变大；T变大 D、N变大，T变小

例3、如图7-3所示，光滑的金属球B放在纵截面为等腰三角形的物体A与竖直墙壁之间，恰好匀速下滑，已知物体A的重力是B的重力的6倍，不计球跟斜面和墙壁之间摩擦，问：物体A与水平面之间的动摩擦因数μ是多少？

提示：结合整体法（AB）和隔离法（B）列平衡方程求解。

答案：例1、

例2、B 例3、

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八、平衡中的临界、极值问题

目的要求

复习平衡中的临界、极值问题求解。

知识要点：

平衡物体的临界问题：

当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）时的转折状态叫临界状态。可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”。 临界问题的分析方法：

极限分析法：通过恰当地选取某个物理量推向极端（“极大”、“极小”、“极左”、“极右”）从而把比较隐蔽的临界现象（“各种可能性”）暴露出来，便于解答。

例题分析：

例1、如图8-1所示，跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A和B，物体A在倾角为θ的斜面上，已知物体A的质量为m，物体A与斜面间动摩擦因数为μ（μ

例2、拉力F作用重量为G的物体上，使物体沿水平面匀速前进，如图8-2所示，若物体与地面的动摩擦因数为μ，则拉最小时，力和地面的夹角θ为多大？最小拉力为多少？（本题涉及最小值问题，是一个明显的临界问题。利用数学中的三角函数关系进行计算，也可以用图象法求解）

例3、如图8-3所示，半径为R，重为G的均匀 球靠竖直墙放置，左下有厚为h的木块，若不计摩擦， 用至少多大的水平推力F推木块才能使球离开地面？ （球体刚好离开地面，地面对球的支持力为零，系统

又平衡）

答案：

例1：m（sinθ-μcosθ）≦mB≦m(sinθ+μcosθ)

21/221/2

例2、θ=arcCOS1/（1+μ）时，Fmin=μG/（1+μ）

1/2

例3、F=G[h（2R-h）]/（R-h）

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